A solução da equação \left|\begin{array}{cccc}1 & -1 & 1 & -1 \\\\ 1 & 3 & 9 & 27 \\\\ 1 & 1 & 1 & 1 \\\\ 1 & 7 & 49 & 347\end{array}\right|=\left|\begin{array}{cc}-x & 6 \\\\ 1 & 3\end{array}\right| é igual a:
a) -1095
b) -1089
c) 1026
d) 3072

Passo 1

O enunciado pede que se resolva a equação entre dois determinantes. As informações fornecidas são:
  • Determinante 4\times4:
\left|\begin{array}{cccc} 1 & -1 & 1 & -1 \\\\ 1 & 3 & 9 & 27 \\\\ 1 & 1 & 1 & 1 \\\\ 1 & 7 & 49 & 347 \end{array}\right|
  • Determinante 2\times2:
\left|\begin{array}{cc} -x & 6 \\[4pt] 1 & 3 \end{array}\right|
A equação a resolver é:
\left|\begin{array}{cccc} 1 & -1 & 1 & -1 \\\\ 1 & 3 & 9 & 27 \\\\ 1 & 1 & 1 & 1 \\\\ 1 & 7 & 49 & 347 \end{array}\right| = \left|\begin{array}{cc} -x & 6 \\[4pt] 1 & 3 \end{array}\right|.
O objetivo final é encontrar o(s) valor(es) de x que satisfazem essa igualdade.]

Passo 2

Vou calcular primeiro o determinante do 2\times2 (lado direito), porque é simples e serve para formar a equação final.
Recordando a fórmula do determinante de uma matriz 2\times2:
\left|\begin{array}{cc} a & b\\[4pt] c & d \end{array}\right| = ad - bc.
Aqui a=-x,\\ b=6,\\ c=1,\\ d=3. Portanto
\left|\begin{array}{cc} -x & 6\\[4pt] 1 & 3 \end{array}\right| = (-x)\cdot 3 - 6\cdot 1 = -3x - 6.]

Passo 3

Agora vou calcular o determinante do 4\times4 (lado esquerdo). Uma estratégia prática: usar operações por linhas para reduzir à um bloco 3\times3, porque a primeira coluna já tem muitos 1s. Vou nomear as linhas originais de A por R_1,R_2,R_3,R_4:
R_1=(1,-1,1,-1),\quad R_2=(1,3,9,27),\quad R_3=(1,1,1,1),\quad R_4=(1,7,49,347).
Faço as operações R_i \leftarrow R_i - R_1 para i=2,3,4. Essas operações não alteram o determinante (subtrair uma linha de outra é operação elemental que preserva o determinante):
  • R_2 - R_1 = (0,\;4,\;8,\;28).
  • R_3 - R_1 = (0,\;2,\;0,\;2).
  • R_4 - R_1 = (0,\;8,\;48,\;348).
A matriz transformada fica com primeira coluna (1,0,0,0)^T, logo o determinante do 4\times4 é igual ao determinante do menor 3\times3 formado pelas linhas 2,3,4 e colunas 2,3,4 (cofactor da posição (1,1) multiplicado por 1). Assim:
\left|\begin{array}{cccc} 1 & -1 & 1 & -1 \\\\ 1 & 3 & 9 & 27 \\\\ 1 & 1 & 1 & 1 \\\\ 1 & 7 & 49 & 347 \end{array}\right| = \left|\begin{array}{ccc} 4 & 8 & 28\\[4pt] 2 & 0 & 2\\[4pt] 8 & 48 & 348 \end{array}\right|.]

Passo 4

Vou calcular o determinante do 3\times3
B=\begin{pmatrix} 4 & 8 & 28\\[4pt] 2 & 0 & 2\\[4pt] 8 & 48 & 348 \end{pmatrix}.
Uso a fórmula de expansão pela primeira linha (fórmula padrão para 3\times3):
\det(B)=4\cdot\det\begin{pmatrix}0 & 2\\[4pt]48 & 348\end{pmatrix} -8\cdot\det\begin{pmatrix}2 & 2\\[4pt]8 & 348\end{pmatrix} +28\cdot\det\begin{pmatrix}2 & 0\\[4pt]8 & 48\end{pmatrix}.
Calculo cada menor 2\times2:
\det\begin{pmatrix}0 & 2\\[4pt]48 & 348\end{pmatrix} = 0\cdot348 - 2\cdot48 = -96,
\det\begin{pmatrix}2 & 2\\[4pt]8 & 348\end{pmatrix} = 2\cdot348 - 2\cdot8 = 696 - 16 = 680,
\det\begin{pmatrix}2 & 0\\[4pt]8 & 48\end{pmatrix} = 2\cdot48 - 0\cdot8 = 96.
Substituindo:
\det(B)=4\cdot(-96) -8\cdot(680) +28\cdot(96).
Agora calculo passo a passo:
4\cdot(-96) = -384,
-8\cdot680 = -5440,
28\cdot96 = 2688.
Somando:
\det(B) = -384 - 5440 + 2688 = -3136.]

Passo 5

Concluímos que o determinante do 4\times4 original vale -3136. Portanto a equação dada no enunciado se reduz a
-3136 = -3x - 6.

Passo 6

Agora resolvo a equação para x. Reescrevendo:
-3x - 6 = -3136.
Isolando x:
-3x = -3136 + 6 = -3130,
x = \dfrac{-3130}{-3} = \dfrac{3130}{3}.

Passo 7

Interpretação final: o valor de x que satisfaz a igualdade dos determinantes é
x = \dfrac{3130}{3}.

Resposta

\dfrac{3130}{3}

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