Use o método dos discos para calcular o volume do sólido de revolução obtido pela rotação das regiões indicadas:
y=cos (x), y=-2, x=0, x=2 pi ao redor da reta y=-2.

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido obtido ao girar em torno de y=-2 a região limitada pelas curvas y=cos(x), y=-2, x=0 e x=2pi. O conteúdo é cálculo de volume por discos (ou discos de raio variável).

Passo 2

Como giramos em torno de y=-2, cada fatia vertical em x gera um disco de raio igual à distância de y=cos(x) até a reta y=-2. Logo o raio do disco é
R(x)=l[cos(x)r]-(-2)=cos(x)+2

Passo 3

Pelo método dos discos, o volume é
V=integralx=0^x=2pipil[R(x)r]^2,dx =piintegral0^2pil(cos(x)+2r)^2dx

Passo 4

Expandindo o quadrado e usando cos^2(x)=tfrac1+cos(2x)2, temos
l(cos(x)+2r)^2 =cos^2(x)+4cos(x)+4 =tfrac1+cos(2x)2+4cos(x)+4
Então
integral0^2pil(cos(x)+2r)^2dx =integral0^2pi!tfrac12dx +integral0^2pi!tfraccos(2x)2dx +integral0^2pi!4cos(x),dx +integral0^2pi!4,dx

Passo 5

Calculando cada termo separadamente:
integral0^2pitfrac12,dx =tfrac12l[,xr]0^2pi =pi,
integral0^2pitfraccos(2x)2,dx =tfrac14l[sin(2x)r]0^2pi =0,
integral0^2pi4cos(x),dx =4l[sin(x)r]0^2pi =0,
integral0^2pi4,dx =4l[xr]0^2pi =8pi
Somando,
integral0^2pil(cos(x)+2r)^2dx =pi+0+0+8pi=9pi

Passo 6

Multiplicando por pi, o volume é
V=picdot(9pi)=9pi^2

Resposta

O volume do sólido é 9pi^2.

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