Dada a função f(x)= e^-3 x cos (3 x) calcule f^prime(0).
a) () -1
b) (gamma) 0
c) () 1
d) ( ) -2
e) ( ) -3

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem a função f(x) = e^-3x cos(3x) e precisa calcular a derivada dessa função no ponto x = 0 , ou seja, f'(0) . Para isso, vamos usar as regras de derivação de funções exponenciais e trigonométricas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como derivar a função f(x) = e^-3x cos(3x) . Aqui, a gente tem um produto de duas funções: e^-3x e cos(3x) . Para derivar produtos de funções, usamos a regra do produto, que diz que:
(f cdot g)' = f' cdot g + f cdot g'

Passo 3

Agora, vamos encontrar a derivada de cada parte separadamente.
  1. Derivada de e^-3x :
ddx e^-3x = -3 e^-3x
Aqui, usamos a regra da cadeia. A derivada de e^u em relação a x é e^u cdot u' , onde u = -3x e u' = -3 .
  1. Derivada de cos(3x) :
ddx cos(3x) = -3 sin(3x)
Novamente, usamos a regra da cadeia. A derivada de cos(u) é -sin(u) cdot u' , onde u = 3x e u' = 3 .

Passo 4

Aplicando a regra do produto:
f'(x) = ddx ( e^-3x ) cdot cos(3x) + e^-3x cdot ddx ( cos(3x) )
Substituindo as derivadas que encontramos:
f'(x) = (-3 e^-3x) cdot cos(3x) + e^-3x cdot (-3 sin(3x))

Passo 5

Vamos simplificar a expressão:
f'(x) = -3 e^-3x cos(3x) - 3 e^-3x sin(3x)
Podemos fatorar -3 e^-3x :
f'(x) = -3 e^-3x ( cos(3x) + sin(3x) )

Passo 6

Agora, queremos saber o valor de f'(0) . Vamos substituir x = 0 na expressão da derivada:
f'(0) = -3 e^-3 cdot 0 ( cos(3 cdot 0) + sin(3 cdot 0) )
Simplificando:
f'(0) = -3 e^0 ( cos(0) + sin(0) )
Sabemos que e^0 = 1 , cos(0) = 1 e sin(0) = 0 . Então:
f'(0) = -3 cdot 1 cdot (1 + 0) = -3

Resposta

A derivada de f(x) em x = 0 é f'(0) = -3 . Portanto, a resposta correta é a letra e) -3.

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