Dada a função do 1^{\circ} grau: f(x)=-4-3 x, determinar:
a) a função é crescente ou decrescente? Justifique;
b) a raiz de \mathrm{f}(\mathrm{x}) e os coeficientes angular e linear;
c) o ponto que f(x) intercepta o eixo y;
d) os valores de x para os quais f(x) é negativa;
e) o domínio que tem -16 como imagem;
f) os valores de x para os quais f(x) é positiva;
g) a imagem que tem domínio -2;
h) um esboço do gráfico de \mathrm{f}(\mathrm{x});
i) se a função passa pelo ponto (-1; -1). Justifique fazendo as contas;

Passo 1

O enunciado dá uma função do 1º grau
f(x) = -4 - 3x
e pede, dentre outras coisas, para determinarmos se ela é crescente ou decrescente, sua raiz, coeficientes angular e linear, pontos de interseção com os eixos, intervalos em que é positiva ou negativa, pré‐imagem de certos valores, imagem de certos valores, esboço do gráfico e verificar se ela passa por (-1,-1).

Passo 2

Para saber se a reta é crescente ou decrescente, basta olhar o coeficiente angular m. Na forma geral
f(x)=mx + b
temos aqui m=-3. Como m<0, a reta é decrescente.

Passo 3

A raiz da função é o valor de x tal que f(x)=0. Resolve-se
-4 - 3x = 0 \quad\Longrightarrow\quad -3x = 4 \quad\Longrightarrow\quad x = -\tfrac{4}{3}.
Os coeficientes são: angular m=-3 e linear b=-4.

Passo 4

O ponto em que a reta intercepta o eixo y é dado por f(0). Calcula-se
f(0) = -4 -3\cdot 0 = -4,
logo o ponto é \bigl(0,-4\bigr).

Passo 5

Para achar onde f(x) é negativa resolvemos
f(x)<0 \quad\Longrightarrow\quad -4 -3x < 0 \quad\Longrightarrow\quad -3x < 4 \quad\Longrightarrow\quad x > -\tfrac{4}{3}.
Portanto f(x)<0 para x > -\tfrac{4}{3}.

Passo 6

Para encontrar o(s) x cujo valor da imagem é -16, resolvemos
f(x)=-16 \quad\Longrightarrow\quad -4 -3x = -16 \quad\Longrightarrow\quad -3x = -12 \quad\Longrightarrow\quad x = 4.
Então só x=4 tem imagem -16.

Passo 7

Para saber onde f(x) é positiva, fazemos
f(x)>0 \quad\Longrightarrow\quad -4 -3x > 0 \quad\Longrightarrow\quad -3x > 4 \quad\Longrightarrow\quad x < -\tfrac{4}{3}.
Logo f(x)>0 para x < -\tfrac{4}{3}.

Passo 8

A imagem quando o domínio é -2 é simplesmente
f(-2) = -4 -3\cdot(-2) = -4 +6 = 2.

Passo 9

Para esboçar o gráfico, basta marcar dois pontos conhecidos e traçar a reta decrescente de coeficiente angular -3:
  • Intercepto em y: (0,-4).
  • Raiz (intercepto em x): \bigl(-\tfrac{4}{3},0\bigr).
    União desses pontos dá a reta decrescente.

Passo 10

Para verificar se a função passa por (-1,-1), calculamos
f(-1) = -4 -3\cdot(-1) = -4 +3 = -1.
Como o resultado é exatamente -1, o ponto (-1,-1) pertence ao gráfico.

Resposta

a) decrescente.
b) raiz x=-\tfrac{4}{3}; coeficiente angular m=-3; coeficiente linear b=-4.
c) intercepta o eixo y em \bigl(0,-4\bigr).
d) f(x)<0 para x>-\tfrac{4}{3}.
e) f(x)=-16 só em x=4.
f) f(x)>0 para x<-\tfrac{4}{3}.
g) f(-2)=2.
h) reta decrescente passando por (0,-4) e \bigl(-\tfrac{4}{3},0\bigr).
i) sim, pois f(-1)=-1.

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