Seja f: R^3 R uma função dada por f(x, y, z)=x^2+y^3+z^4, com x=x(t, u, v), y=y(t, u, v) e z=z(t, u, v). Sabendo que x(0,0,1)=5, y(0,0,1)=2, z(0,0,1)=-1, partial xpartial t(0,0,1)=partial ypartial t(0,0,1)=partial zpartial t(0,0,1)=1, partial xpartial u(0,0,1)= partial ypartial u(0,0,1)=partial zpartial u(0,0,1)=-1, partial xpartial v(0,0,1)=partial ypartial v(0,0,1)=partial zpartial v(0,0,1)=3, calcule as derivadas parciais de
F(t, u, v)=f(x(t, u, v), y(t, u, v), z(t, u, v))
no ponto (0,0,1).

Passo 1

A ideia geral é usar a regra da cadeia para derivadas parciais em funções compostas de várias variáveis. Temos a função interna f(x,y,z)=x^2+y^3+z^4 e as funções x=x(t,u,v), y=y(t,u,v), z=z(t,u,v). Queremos calcular Ft, Fu, Fv em (t,u,v)=(0,0,1).

Passo 2

Precisamos primeiro encontrar as derivadas parciais de f em relação a x,y,z. Aplicando diferenciação direta:
fx(x,y,z)=2x, fy(x,y,z)=3y^2, fz(x,y,z)=4z^3

Passo 3

Agora avaliamos fx,fy,fz no ponto correspondente a (t,u,v)=(0,0,1). Sabemos que x(0,0,1)=5, y(0,0,1)=2 e z(0,0,1)=-1. Logo:
f_x(5,2,-1)=2\cdot5=10,
f_y(5,2,-1)=3\cdot2^2=12,
f_z(5,2,-1)=4\cdot(-1)^3=-4.

Passo 4

Agora aplicamos a regra da cadeia para derivadas parciais:
Ft = fx,xt + fy,yt + fz,zt,
Fu = fx,xu + fy,yu + fz,zu,
Fv = fx,xv + fy,yv + fz,zv
Substituindo os valores de fx,fy,fz e das derivadas parciais de x,y,z dadas ( xt=yt=zt=1, xu=yu=zu=-1, xv=yv=zv=3 em (0,0,1)):
Ft = 10cdot1 + 12cdot1 + (-4)cdot1 = 18,
Fu = 10cdot(-1) + 12cdot(-1) + (-4)cdot(-1) = -18,
Fv = 10cdot3 + 12cdot3 + (-4)cdot3 = 54

Resposta

Ft(0,0,1)=18, Fu(0,0,1)=-18, Fv(0,0,1)=54

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