Pelo Exercício 5, para descrever a posição do elétron no átomo de hidrogênio, precisamos resolver a equação de Laguerre
O objetivo desse exercício é investigar as soluções dessa equação usando séries de potências.
Escrevendo a solução como o polinômio
, determine, em função dos coeficientes
, os coeficientes
e
dos polinômios
e também
.
Escrevendo a solução como o polinômio
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma equação diferencial de Laguerre que descreve a posição do elétron no átomo de hidrogênio:
O objetivo é resolver essa equação usando séries de potências. Para isso, vamos escrever a solução
como uma série infinita:
Precisamos determinar os coeficientes
e
das séries resultantes de
e
, respectivamente, em termos dos coeficientes
.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a derivada de
:
Agora, multiplicamos
por
:
Vamos calcular cada parte separadamente.
Passo 3
Calculando
:
Podemos reescrever o índice da soma para facilitar:
Passo 4
Agora, calculando
:
Passo 5
Subtraindo as duas expressões para obter
:
Vamos ajustar os índices para que ambas as somas tenham o mesmo expoente de
.
Passo 6
Reindexando a primeira soma substituindo
por
:
Agora, temos:
Passo 7
Unindo as duas somas:
Portanto, os coeficientes
são:
Passo 8
Agora, vamos calcular
:
Reescrevendo o índice para simplificar:
Passo 9
Multiplicando
por
:
Reindexando a soma substituindo
por
:
Passo 10
Portanto, os coeficientes
são:
E para
:
Resposta
Os coeficientes
e
em função de
são dados por:
e