Pelo Exercício 5, para descrever a posição do elétron no átomo de hidrogênio, precisamos resolver a equação de Laguerre
x y^prime prime(x)+(1-x) y^prime(x)+(nu+lambda) y(x)=0
O objetivo desse exercício é investigar as soluções dessa equação usando séries de potências.
Escrevendo a solução como o polinômio y(x)=sumn=0^infty cn x^n, determine, em função dos coeficientes cn, os coeficientes pn e qn dos polinômios (1-x) y^prime(x)=sumn=0^infty pn x^n e também x y^prime prime(x)=sumn=0^infty qn x^n.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma equação diferencial de Laguerre que descreve a posição do elétron no átomo de hidrogênio:
x y^prime prime(x) + (1 - x) y^prime(x) + (nu + lambda) y(x) = 0
O objetivo é resolver essa equação usando séries de potências. Para isso, vamos escrever a solução y(x) = sumn=0^infty cn x^n como uma série infinita:
Precisamos determinar os coeficientes e das séries resultantes de e , respectivamente, em termos dos coeficientes .

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a derivada de y^prime(x) = sumn=0^infty cn cdot n cdot x^n-1 :
(1 - x) y^prime(x) = y^prime(x) - x y^prime(x)
Agora, multiplicamos por :
Vamos calcular cada parte separadamente.

Passo 3

Calculando y^prime(x) = sumn=0^infty cn cdot n cdot x^n-1 :
y^prime(x) = sumn=1^infty cn cdot n cdot x^n-1
Podemos reescrever o índice da soma para facilitar:

Passo 4

Agora, calculando x y^prime(x) = x cdot sumn=1^infty cn cdot n cdot x^n-1 = sumn=1^infty cn cdot n cdot x^n :

Passo 5

Subtraindo as duas expressões para obter (1 - x) y^prime(x) = sumn=1^infty cn cdot n cdot x^n-1 - sumn=1^infty cn cdot n cdot x^n :
Vamos ajustar os índices para que ambas as somas tenham o mesmo expoente de .

Passo 6

Reindexando a primeira soma substituindo sumn=1^infty cn cdot n cdot x^n-1 = sumn=0^infty cn+1 cdot (n+1) cdot x^n por (1 - x) y^prime(x) = sumn=0^infty cn+1 cdot (n+1) cdot x^n - sumn=1^infty cn cdot n cdot x^n :
Agora, temos:

Passo 7

Unindo as duas somas:
(1 - x) y^prime(x) = c1 cdot 1 cdot x^0 + sumn=1^infty [cn+1 cdot (n+1) - cn cdot n] cdot x^n
Portanto, os coeficientes pn = c1 & para n = 0 cn+1 cdot (n+1) - cn cdot n & para n >= 1 são:

Passo 8

Agora, vamos calcular y^prime prime(x) = sumn=0^infty cn cdot n cdot (n-1) cdot x^n-2 :
y^prime prime(x) = sumn=2^infty cn cdot n cdot (n-1) cdot x^n-2
Reescrevendo o índice para simplificar:

Passo 9

Multiplicando x y^prime prime(x) = x cdot sumn=2^infty cn cdot n cdot (n-1) cdot x^n-2 = sumn=2^infty cn cdot n cdot (n-1) cdot x^n-1 por x y^prime prime(x) = sumn=1^infty cn+1 cdot (n+1) cdot n cdot x^n :
Reindexando a soma substituindo por :

Passo 10

Portanto, os coeficientes qn = cn+1 cdot (n+1) cdot n para n >= 1 são:
q0 = 0
E para :

Resposta

Os coeficientes pn = c1 & para n = 0 cn+1 cdot (n+1) - cn cdot n & para n >= 1 e qn = 0 & para n = 0 cn+1 cdot (n+1) cdot n & para n >= 1 em função de são dados por:
e

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