Dada a função f(x, y)=craiz2 x^2+2 y^2+3, se x^2+y^2<4 1 , se x^2+y^2 >= 4,
Identifique:
B) (Valor 1 ponto) A região em que a função f não é diferenciável, justificando sua resposta.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma função $ f(x, y) $ que muda de expressão dependendo de onde estamos no plano. O exercício pede para a gente descobrir em que região essa função não é diferenciável, ou seja, onde ela não tem uma derivada bem definida. Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa uma função ser diferenciável e analisar onde a função pode ter problemas nessa definição.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para a função $ f(x, y) $:
f(x, y)
Essa função tem duas partes:
  1. Dentro do círculo ($ x^{2} + y^{2} < 4 $): $ f(x, y) = \sqrt{2x^{2} + 2y^{2} + 3} $
  2. Fora ou na borda do círculo ($ x^{2} + y^{2} \geq 4 $): $ f(x, y) = 1 $

Passo 3

Agora, vamos lembrar o que é ser diferenciável. Uma função é diferenciável em um ponto se ela tiver derivadas parciais bem definidas ali e se essas derivadas mudarem de maneira suave. Se houver algum ponto onde a função muda de forma brusca ou não tem derivadas claras, ela não é diferenciável nesse ponto.

Passo 4

Vamos analisar cada parte da função:
  • Dentro do círculo ($ x^{2} + y^{2} < 4 $): A expressão $ \sqrt{2x^{2} + 2y^{2} + 3} $ é uma função suave (derivável) porque é composta por operações matemáticas que mantêm a diferenciabilidade, como soma, multiplicação e raiz quadrada.
  • Fora ou na borda do círculo ($ x^{2} + y^{2} \geq 4 $): A função é constante, $ f(x, y) = 1 $, e funções constantes são sempre diferenciáveis porque suas derivadas são zero.

Passo 5

O ponto crítico é na borda do círculo, onde $ x^{2} + y^{2} = 4 $. É aqui que a função muda de uma expressão para outra. Precisamos verificar se essa transição acontece de forma suave.
Vamos ver o que acontece quando nos aproximamos da borda pela parte interna e externa:
  • Pela parte interna ($ x^{2} + y^{2} \to 4^- $): x^2 + y^2 = 4
  • Pela parte externa ($ x^{2} + y^{2} \to 4^+ $): x^2 + y^2 to 4^-
Como $ \sqrt{11} \neq 1 $, há uma discontinuidade na borda do círculo. Isso significa que a função não é diferenciável nesse ponto porque ela não é nem contínua ali.

Resposta

A função $ f $ não é diferenciável exatamente na borda do círculo $ x^{2} + y^{2} = 4 $, porque nela a função muda de forma brusca, causando uma descontinuidade.

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