Dada a função
,
Identifique:
B) (Valor 1 ponto) A região em que a função
não é diferenciável, justificando sua resposta.
Identifique:
B) (Valor 1 ponto) A região em que a função
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma função $ f(x, y) $ que muda de expressão dependendo de onde estamos no plano. O exercício pede para a gente descobrir em que região essa função não é diferenciável, ou seja, onde ela não tem uma derivada bem definida. Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa uma função ser diferenciável e analisar onde a função pode ter problemas nessa definição.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar para a função $ f(x, y) $:
Essa função tem duas partes:
- Dentro do círculo ($ x^{2} + y^{2} < 4 $): $ f(x, y) = \sqrt{2x^{2} + 2y^{2} + 3} $
- Fora ou na borda do círculo ($ x^{2} + y^{2} \geq 4 $): $ f(x, y) = 1 $
Passo 3
Agora, vamos lembrar o que é ser diferenciável. Uma função é diferenciável em um ponto se ela tiver derivadas parciais bem definidas ali e se essas derivadas mudarem de maneira suave. Se houver algum ponto onde a função muda de forma brusca ou não tem derivadas claras, ela não é diferenciável nesse ponto.
Passo 4
Vamos analisar cada parte da função:
-
Dentro do círculo ($ x^{2} + y^{2} < 4 $): A expressão $ \sqrt{2x^{2} + 2y^{2} + 3} $ é uma função suave (derivável) porque é composta por operações matemáticas que mantêm a diferenciabilidade, como soma, multiplicação e raiz quadrada.
-
Fora ou na borda do círculo ($ x^{2} + y^{2} \geq 4 $): A função é constante, $ f(x, y) = 1 $, e funções constantes são sempre diferenciáveis porque suas derivadas são zero.
Passo 5
O ponto crítico é na borda do círculo, onde $ x^{2} + y^{2} = 4 $. É aqui que a função muda de uma expressão para outra. Precisamos verificar se essa transição acontece de forma suave.
Vamos ver o que acontece quando nos aproximamos da borda pela parte interna e externa:
- Pela parte interna ($ x^{2} + y^{2} \to 4^- $):
- Pela parte externa ($ x^{2} + y^{2} \to 4^+ $):
Como $ \sqrt{11} \neq 1 $, há uma discontinuidade na borda do círculo. Isso significa que a função não é diferenciável nesse ponto porque ela não é nem contínua ali.
Resposta
A função $ f $ não é diferenciável exatamente na borda do círculo $ x^{2} + y^{2} = 4 $, porque nela a função muda de forma brusca, causando uma descontinuidade.