Dada a função
,
Identifique:
A) (Valor 1 ponto) A região em que a função
é diferenciável, justificando sua resposta.
Identifique:
A) (Valor 1 ponto) A região em que a função
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Temos uma função $ f(x, y) $ que é definida de duas maneiras diferentes dependendo da região no plano $ xy $. Queremos descobrir em qual região essa função é diferenciável. Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa uma função ser diferenciável e analisar as duas partes da definição da função.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma função diferenciável. Uma função é diferenciável em um ponto se ela tem derivadas parciais contínuas nesse ponto. Em termos simples, isso significa que a função tem uma “boa” aproximação linear ali, sem quebrar ou ter cantos.
Passo 3
Agora, vamos olhar para a definição da nossa função $ f(x, y) $:
Temos duas partes: uma dentro do círculo de raio 2 ($ x^{2} + y^{2} < 4
x^{2} + y^{2} \geq 4 $).
Passo 4
Vamos analisar cada parte separadamente. Para $ x^{2} + y^{2} < 4 $, a função é $ \sqrt{2x^{2} + 2y^{2} + 3} $. Essa é uma função composta que envolve raízes e polinômios, que são geralmente diferenciáveis onde estão definidas.
Passo 5
Para $ x^{2} + y^{2} \geq 4 $, a função é constante, igual a 1. Funções constantes são diferenciáveis em toda parte porque suas derivadas são zero, o que significa que não há “mudança” na função.
Passo 6
A parte onde a função pode não ser diferenciável é na fronteira entre as duas regiões, ou seja, quando $ x^{2} + y^{2} = 4 $. Precisamos verificar a continuidade e as derivadas nessa fronteira.
Passo 7
Vamos verificar a continuidade na fronteira. Quando $ x^{2} + y^{2} = 4 $, pela primeira definição, $ f(x, y) = \sqrt{2(4) + 3} = \sqrt{11} $. Pela segunda definição, $ f(x, y) = 1 $. Como $ \sqrt{11} \neq 1 $, a função não é contínua nessa fronteira.
Passo 8
Já que a função não é contínua na fronteira $ x^{2} + y^{2} = 4 $, ela não pode ser diferenciável lá. Então, a função é diferenciável em todas as regiões onde ela é definida de forma única e contínua, ou seja, dentro do círculo $ x^{2} + y^{2} < 4 $ e fora do círculo $ x^{2} + y^{2} > 4 $, mas não na fronteira.
Resposta
A função $ f $ é diferenciável em todas as regiões onde $ x^{2} + y^{2} < 4 $ e onde $ x^{2} + y^{2} > 4 $. Ela não é diferenciável na fronteira $ x^{2} + y^{2} = 4 $.