1. Dada a função custo C(x)=8 x^{2}+7. Encontre a função de custo marginal e calcule o custo marginal para x=24
R: C^{\prime}(x)=16 x
C^{\prime}(24)=384

Passo 1

O enunciado fornece a função custo C(x)=8 x^{2}+7. As perguntas são claras:
  • Encontrar a função de custo marginal (ou seja, C'(x)).
  • Calcular o valor do custo marginal para x=24, isto é C'(24).
    Informações relevantes dadas: o termo quadrático 8 x^{2} e a constante 7.

Passo 2

O que é custo marginal, formalmente?
O custo marginal em um ponto x é a derivada de C em relação a x. Em definição de limite:
C'(x)=\lim_{h\to0}\frac{C(x+h)-C(x)}{h}.
Aqui x representa a quantidade produzida e h é uma variação pequena na quantidade. Intuitivamente, C'(x) diz quanto o custo total muda por uma unidade a mais produzida quando se está em x unidades.

Passo 3

Regra que vamos usar (regra do poder / power rule):
Se f(x)=a x^{n} com a constante e n número real, então
f'(x)=a\cdot n\cdot x^{n-1}.
Além disso, a derivada de uma constante é zero: se k é constante então k'=0.
Explicando os símbolos: a é o coeficiente, n é o expoente, x é a variável; f'(x) é a derivada de f em relação a x.

Passo 4

Aplicando a regra termo a termo em C(x)=8 x^{2}+7:
  • Para o termo 8 x^{2}: usar a regra do poder com a=8 e n=2. Logo a derivada é
(8 x^{2})' = 8\cdot 2\cdot x^{2-1}=16 x.
  • Para a constante 7: a derivada é
(7)'=0.
Somando os resultados dos termos, obtemos a função custo marginal:
C'(x)=16 x.

Passo 5

Agora calculamos o custo marginal em x=24. Substituindo:
C'(24)=16\cdot 24.
Fazendo a multiplicação passo a passo:
16\cdot 24 = 16\cdot(20+4)=16\cdot 20 + 16\cdot 4 = 320 + 64 = 384.

Passo 6

Interpretação final (pra fixar): C'(x)=16x significa que, quando a produção está em x unidades, o custo adicional aproximado para produzir mais uma unidade é 16x (na mesma unidade monetária do custo). Em particular, em x=24 unidades, esse custo marginal é 384: ou seja, produzir a 25ª unidade (a partir de 24) aumenta o custo total em aproximadamente 384.

Resposta

C'(x)=16 x
C'(24)=384

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