No intervalo (-1,1), desenvolva as seguintes funções numa série de Maclaurin: \frac{x+1}{3 x+2}
Passo 1
O enunciado pede: desenvolver em série de Maclaurin (expansão em torno de 0) a função
\frac{x+1}{3x+2}
no intervalo (-1,1).
Informações relevantes dadas:
A função é \displaystyle \frac{x+1}{3x+2}.
O enunciado menciona o intervalo (-1,1) como domínio de interesse.
Não foi pedida forma específica da série (por exemplo até certo grau), então vamos apresentar a série completa (soma infinita) e discutir sua convergência.
Passo 2
O que é pedir uma série de Maclaurin? Vou explicar devagarinho: uma série de Maclaurin é a série de Taylor centrada em 0. Em geral é uma soma
\sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n
que representa a função perto de x=0. Uma técnica prática muito usada quando o denominador é linear é escrever a função de modo a usar a série geométrica
onde o padrão dos coeficientes para k\ge1 é (-1)^k \dfrac{3^{k-1}}{2^{k+1}}.
Quanto à convergência: a série que usamos tem condição |\tfrac{3}{2}x|<1, isto é convergente para
|x|<\tfrac{2}{3}.
Esse raio de convergência também pode ser visto geometricamente: a função tem um pólo (denominador zero) em x=-\tfrac{2}{3}, que é o ponto singular mais próximo de 0; a distância de 0 até esse ponto é \tfrac{2}{3}, que é o raio de convergência da série de Maclaurin. Assim a série representa a função para |x|<\tfrac{2}{3}, que é um subconjunto do intervalo (-1,1) pedido.
válida para |x|<\dfrac{2}{3}. Se quiser, na hora da prova basta lembrar do truque de escrever o denominador como 2(1+\tfrac{3}{2}x), usar a série geométrica para \dfrac{1}{1+u} e multiplicar por x+1.
Resposta
\frac{x+1}{3x+2}=\frac{1}{2}+\sum_{k=1}^{\infty}(-1)^k\frac{3^{\,k-1}}{2^{\,k+1}}\,x^k,\qquad\text{válida para }|x|<\tfrac{2}{3}.á