Dada a função f(x)=2 x-5 :
(a) Determine o domínio e a imagem da função.
(b) Faça o gráfico da função no intervalo x in[-3,3].
(c) A função é crescente ou decrescente? Justifique.
(d) A função é injetora? É sobrejetora sobre R ? Explique.

Passo 1

O enunciado dá a função linear f(x)=2x-5 e pede:
(a) domínio e imagem;
(b) esboço do gráfico para xin[-3,3];
(c) monotonicidade (crescente ou decrescente);
(d) verificar injetividade e sobrejetividade sobre R.
Como é uma reta (polinômio de grau 1), vamos usar propriedades de funções lineares.

Passo 2

Para encontrar o domínio de uma função polinomial, lembramos que polinômios estão definidos para todo xinR. Logo,
Domínio(f)=R í
Para a imagem, note que uma reta com coeficiente angular não nulo “varre” todos os valores reais. Podemos ver isso isolando x em y=2x-5:
x=y+52,
que existe para qualquer yinR. Portanto,
Ima>=m(f)=R

Passo 3

Para desenhar o gráfico em [-3,3], basta calcular alguns pontos e ligar com uma reta. Por exemplo:
f(-3)=2cdot(-3)-5=-6-5=-11, f(0)=2cdot0-5=-5, f(3)=2cdot3-5=6-5=1
Marque os pontos (-3,-11), (0,-5) e (3,1) e una-os com uma reta. Como a função é linear, o gráfico nesse intervalo é o segmento de reta que passa por esses pontos.

Passo 4

O coeficiente angular da reta é 2, que é positivo. Funções lineares com coeficiente angular maior que zero são estritamente crescentes. Logo, à medida que x aumenta, f(x) também aumenta. Portanto, f é crescente.

Passo 5

Uma função estritamente crescente em R é injetora, pois valores diferentes de x dão valores diferentes de f(x). Como já vimos que Ima>=m(f)=R, para todo yinR existe x=(y+5)/2 tal que f(x)=y. Isso mostra que f é sobrejetora sobre R. Juntando, f é bijetora de R em R.

Resposta

(a) Domínio R, imagem R.
(b) Gráfico: reta que passa por (-3,-11), (0,-5) e (3,1) no intervalo [-3,3].
(c) f é crescente (coeficiente angular 2>0).
(d) f é injetora (estritamente crescente) e sobrejetora em R (imagem igual a R).

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