Dada a função
:
(a) Determine o domínio e a imagem da função.
(b) Faça o gráfico da função no intervalo
.
(c) A função é crescente ou decrescente? Justifique.
(d) A função é injetora? É sobrejetora sobre
? Explique.
(a) Determine o domínio e a imagem da função.
(b) Faça o gráfico da função no intervalo
(c) A função é crescente ou decrescente? Justifique.
(d) A função é injetora? É sobrejetora sobre
Passo 1
O enunciado dá a função linear
e pede:
(a) domínio e imagem;
(b) esboço do gráfico para ;
(c) monotonicidade (crescente ou decrescente);
(d) verificar injetividade e sobrejetividade sobre .
Como é uma reta (polinômio de grau 1), vamos usar propriedades de funções lineares.
(a) domínio e imagem;
(b) esboço do gráfico para
(c) monotonicidade (crescente ou decrescente);
(d) verificar injetividade e sobrejetividade sobre
Como é uma reta (polinômio de grau 1), vamos usar propriedades de funções lineares.
Passo 2
Para encontrar o domínio de uma função polinomial, lembramos que polinômios estão definidos para todo
. Logo,
Para a imagem, note que uma reta com coeficiente angular não nulo “varre” todos os valores reais. Podemos ver isso isolando
em
:
que existe para qualquer
. Portanto,
Passo 3
Para desenhar o gráfico em
, basta calcular alguns pontos e ligar com uma reta. Por exemplo:
Marque os pontos
,
e
e una-os com uma reta. Como a função é linear, o gráfico nesse intervalo é o segmento de reta que passa por esses pontos.
Passo 4
O coeficiente angular da reta é
, que é positivo. Funções lineares com coeficiente angular maior que zero são estritamente crescentes. Logo, à medida que
aumenta,
também aumenta. Portanto,
é crescente.
Passo 5
Uma função estritamente crescente em
é injetora, pois valores diferentes de
dão valores diferentes de
. Como já vimos que
, para todo
existe
tal que
. Isso mostra que
é sobrejetora sobre
. Juntando,
é bijetora de
em
.
Resposta
(a) Domínio
, imagem
.
(b) Gráfico: reta que passa por ,
e
no intervalo
.
(c) é crescente (coeficiente angular
).
(d) é injetora (estritamente crescente) e sobrejetora em
(imagem igual a
).
(b) Gráfico: reta que passa por
(c)
(d)