Determine se a afirmação é falsa ou verdadeira. Se for verdadeira, explique por quê; caso contrário, explique por que ou dê um exemplo que mostre que é falsa.
Uma hipérbole nunca intercepta sua diretriz.

Passo 1

O enunciado pergunta se uma hipérbole chega a cortar a sua diretriz. O conteúdo envolvido é a definição de seção cônica por foco e diretriz, e o fato de que, para hipérboles, a excentricidade satisfaz e>1.

Passo 2

Pela definição de conica por foco F e diretriz L, a hipérbole é o lugar geométrico dos pontos P tais que
dist(P,F)=e;dist(P,L),
com e>1.

Passo 3

Dessa relação segue
dist(P,L)=1e,dist(P,F)
Como dist(P,F)>0 para qualquer ponto P diferente do foco, temos dist(P,L)>0. Isso impede que P esteja sobre L, pois só quem está sobre L tem distância zero até L.

Passo 4

Em coordenadas canônicas, a hipérbole
x^2a^2-y^2b^2=1
tem diretrizes
x=pmae,
onde e=raiz1+tfracb^2a^2>1. Como ae<a, os vértices ficam em |x|=a e todo ponto da hipérbole satisfaz |x|>= a>tfracae. Logo não há ponto com x=pmtfracae.

Resposta

A afirmação é verdadeira, pois de dist(P,F)=e,dist(P,L) com e>1 segue dist(P,L)>0, isto é, nenhum ponto da hipérbole pode estar sobre a diretriz.

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