Determine se a afirmação é falsa ou verdadeira. Se for verdadeira, explique por quê; caso contrário, explique por que ou dê um exemplo que mostre que é falsa.
Uma hipérbole nunca intercepta sua diretriz.
Uma hipérbole nunca intercepta sua diretriz.
Passo 1
O enunciado pergunta se uma hipérbole chega a cortar a sua diretriz. O conteúdo envolvido é a definição de seção cônica por foco e diretriz, e o fato de que, para hipérboles, a excentricidade satisfaz
.
Passo 2
Pela definição de conica por foco
e diretriz
, a hipérbole é o lugar geométrico dos pontos
tais que
com
.
Passo 3
Dessa relação segue
Como
para qualquer ponto
diferente do foco, temos
. Isso impede que
esteja sobre
, pois só quem está sobre
tem distância zero até
.
Passo 4
Em coordenadas canônicas, a hipérbole
tem diretrizes
onde
. Como
, os vértices ficam em
e todo ponto da hipérbole satisfaz
. Logo não há ponto com
.
Resposta
A afirmação é verdadeira, pois de
com
segue
, isto é, nenhum ponto da hipérbole pode estar sobre a diretriz.