Estude quanto ao máximo ou mínimo as funções:
z=x^2-y^4-6 x+4 y-1

Passo 1

O enunciado pede para estudar máximos, mínimos ou pontos de sela da função
z(x,y) = x^2 - y^4 - 6x + 4y - 1
O conteúdo aqui é cálculo de pontos críticos em funções de duas variáveis, usando derivadas parciais e o teste da matriz Hessiana.

Passo 2

Para encontrar os pontos críticos, calculamos as derivadas parciais de z:
partial zpartial x = 2x - 6,
partial zpartial y = -4y^3 + 4

Passo 3

Igualamos as derivadas parciais a zero para achar os pontos críticos:
2x - 6 = 0 Longrightarrow x = 3,
-4y^3 + 4 = 0 Longrightarrow y^3 = 1 Longrightarrow y = 1
Logo há um único ponto crítico em (3,1).

Passo 4

Agora usamos o teste da segunda derivada. A matriz Hessiana de z é
H = zxx & zxy[6pt] zyx & zyy ,
com
zxx = 2, zyy = -12,y^2, zxy=zyx=0
Em (3,1) temos
zxx(3,1)=2, zyy(3,1)=-12, D = zxx,zyy - (zxy)^2 = 2cdot(-12) - 0 = -24 ]

Passo 5

Como o determinante D da Hessiana em (3,1) é negativo, o ponto crítico é um ponto de sela (nenhum máximo nem mínimo local).

Resposta

A função possui um único ponto crítico em (3,1), classificado como ponto de sela. Não há máximos nem mínimos locais.

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