Questão 5.
Construa a tábua de uma operação * sobre
de modo que satisfaça às seguintes condições:
(i) * é comutativa
(ii) e é o elemento neutro
(iii)
(iv) Os elementos
são regulares
Boa prova!
(i) * é comutativa
(ii) e é o elemento neutro
(iii)
(iv) Os elementos
Boa prova!
Passo 1
O enunciado pede para construirmos a tabela de um semigrupo comutativo
, onde
-
. -
- é comutativa.
-
é elemento neutro, ou seja, para todo ,
-
é “absorvente” no sentido de para todo . - Os elementos
devem ser regulares, isto é, para cada existe tal que
Vamos preencher a tabela linha a linha respeitando essas condições e a comutatividade.
Passo 2
Primeiro, preenchemos a linha (e coluna) de
, já que
é neutro:
Passo 3
Em seguida, pela condição
para todo
, a linha e coluna de
são todas
:
Passo 4
Para garantir que
sejam regulares, basta torná-los idempotentes (pois então
).
Logo, escolhemos
Logo, escolhemos
Passo 5
Falta apenas definir
. Pela comutatividade, basta escolher um valor em
tal que não quebre a regularidade de
e
. Se tomarmos
então
mas isso não prejudica a regularidade de
pois já temos
.
Passo 6
Reunindo tudo e organizando numa tabela simétrica, obtemos: