Questão 5. (1,5) Construa a tábua de uma operação * sobre E=e, a, b, c de modo que satisfaça às seguintes condições:
(i) * é comutativa
(ii) e é o elemento neutro ^downarrow
(iii) x * a=a, forall x in E
(iv) Os elementos b, c, e in E são regulares
Boa prova!

Passo 1

O enunciado pede para construirmos a tabela de um semigrupo comutativo (E,*), onde
  1. E = e,a,b,c.
    • é comutativa.
  2. e é elemento neutro, ou seja, para todo xin E,
e * x = x * e = x
  1. a é “absorvente” no sentido de x * a = a para todo xin E.
  2. Os elementos b,c,e devem ser regulares, isto é, para cada xinb,c,e existe yin E tal que
x * y * x = x
Vamos preencher a tabela linha a linha respeitando essas condições e a comutatividade.

Passo 2

Primeiro, preenchemos a linha (e coluna) de e, já que e é neutro:
e * e = e, e * a = a, e * b = b, e * c = c

Passo 3

Em seguida, pela condição x * a = a para todo x, a linha e coluna de a são todas a:
a * e = a,; a * a = a,; a * b = a,; a * c = a

Passo 4

Para garantir que b,c,e sejam regulares, basta torná-los idempotentes (pois então x*x*x = x).
Logo, escolhemos
b * b = b, c * c = c

Passo 5

Falta apenas definir b * c. Pela comutatividade, basta escolher um valor em E tal que não quebre a regularidade de b e c. Se tomarmos
b * c = b,
então
b*c*b = b*b = b, c*b*c = b*c = b,
mas isso não prejudica a regularidade de c pois já temos c*c*c=c.

Passo 6

Reunindo tudo e organizando numa tabela simétrica, obtemos:
c|cccc * & e & a & b & chline e & e & a & b & c a & a & a & a & a b & b & a & b & b c & c & a & b & c

Resposta

c|cccc * & e & a & b & chline e & e & a & b & c a & a & a & a & a b & b & a & b & b c & c & a & b & c

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