Usando a definição, verifique se as seguintes funções são diferenciáveis:
f(x, y)=\sqrt{x+e^{4 y}}

Passo 1

O enunciado pede: usando a definição, verificar se a função f(x,y)=\sqrt{x+e^{4y}} é diferenciável.
Informações dadas:
  • A função é f(x,y)=\sqrt{x+e^{4y}}.
  • A operação \sqrt{\cdot} exige que o argumento seja \ge 0.
    As perguntas implícitas que vou responder: (i) qual é o domínio de f? (ii) em que pontos f é diferenciável? (iii) em que pontos f não é diferenciável?

Passo 2

Determinar o domínio de f. Definindo u(x,y)=x+e^{4y}, a função existe quando u(x,y)\ge 0. Como e^{4y}>0 para todo y\in\mathbb{R}, o domínio é
D=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2 \mid x+e^{4y}\ge 0\}.
Em particular, pontos com x+e^{4y}>0 são pontos interiores do domínio; pontos com x+e^{4y}=0 formam a fronteira do domínio (cada tal ponto tem x=-e^{4y}).

Passo 3

Lembrando a definição de diferenciabilidade (a mais usada em prova): a função f é diferenciável em (x_0,y_0) se existe um mapa linear L:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R} (que será dado pela matriz gradiente) tal que, para h=(h_1,h_2)\to(0,0),
\frac{f(x_0+h_1,y_0+h_2)-f(x_0,y_0)-L(h_1,h_2)}{\|(h_1,h_2)\|}\to 0.
Quando as derivadas parciais \dfrac{\partial f}{\partial x} e \dfrac{\partial f}{\partial y} existem num ponto e são contínuas numa vizinhança desse ponto, então f é diferenciável nesse ponto e L(h_1,h_2)=f_x(x_0,y_0)h_1+f_y(x_0,y_0)h_2. Vou usar esse critério para os pontos internos do domínio, e a definição direta (diferença quociente) para verificar os pontos da fronteira.

Passo 4

Calcular as derivadas parciais formais onde x+e^{4y}>0. Escrevendo f(x,y)=(x+e^{4y})^{1/2}, por regra da cadeia:
\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)=\frac{1}{2}(x+e^{4y})^{-1/2}\cdot\frac{\partial}{\partial x}(x+e^{4y})=\frac{1}{2}(x+e^{4y})^{-1/2},
\frac{\partial f}{\partial y}(x,y)=\frac{1}{2}(x+e^{4y})^{-1/2}\cdot\frac{\partial}{\partial y}(x+e^{4y})=\frac{1}{2}(x+e^{4y})^{-1/2}\cdot 4e^{4y}=2\,\frac{e^{4y}}{\sqrt{x+e^{4y}}}.
Essas fórmulas são válidas sempre que x+e^{4y}>0.

Passo 5

Verificar continuidade das derivadas parciais nos pontos interiores do domínio. As expressões
\frac{1}{2}(x+e^{4y})^{-1/2}\quad\text{e}\quad 2\,\frac{e^{4y}}{\sqrt{x+e^{4y}}}
são funções compostas de operações contínuas enquanto x+e^{4y}>0. Logo ambas as derivadas parciais são contínuas em qualquer ponto com x+e^{4y}>0. Pelo critério mencionado no Passo 3, f é diferenciável em todo ponto interior do domínio, isto é, em todo (x,y) com
x+e^{4y}>0.

Passo 6

Agora examinar pontos da fronteira, isto é, pontos (x_0,y_0) tais que
x_0+e^{4y_0}=0.
Nestes pontos f(x_0,y_0)=0. Para verificar diferenciabilidade na fronteira é preciso checar a definição diretamente (não podemos invocar continuidade das parciais pois nelas aparecem fatores (x+e^{4y})^{-1/2} que explodem quando o argumento tende a 0).

Passo 7

Mostrar que a derivada parcial em x não é finita na fronteira. Tome (x_0,y_0) com x_0+e^{4y_0}=0. Considere incrementos na direção x só (ou seja h=(h_1,0) com h_1>0). Então
f(x_0+h_1,y_0)=\sqrt{x_0+h_1+e^{4y_0}}=\sqrt{h_1},
pois x_0+e^{4y_0}=0. Portanto a diferença quociente para a derivada parcial em x é
\frac{f(x_0+h_1,y_0)-f(x_0,y_0)}{h_1}=\frac{\sqrt{h_1}-0}{h_1}=\frac{1}{\sqrt{h_1}}.
Quando h_1\to 0^+ essa quantidade tende a +\infty, logo a derivada parcial em x não existe como número real (é não finita). Assim não existe um linear L com coeficiente finito correspondente à derivada em x naquele ponto, e por consequência f não é diferenciável nesse ponto.

Passo 8

Concluir sobre diferenciabilidade total. Resumo:
  • Em qualquer ponto com x+e^{4y}>0: as derivadas parciais existem e são contínuas numa vizinhança, logo f é diferenciável ali. O diferencial linear é dado por
df(x,y)[h_1,h_2]=\frac{1}{2\sqrt{x+e^{4y}}}\,h_1+2\,\frac{e^{4y}}{\sqrt{x+e^{4y}}}\,h_2.
  • Em qualquer ponto com x+e^{4y}=0: a derivada parcial em x (pelo menos) não é finita, então f não é diferenciável nesses pontos.

Resposta

A função f é diferenciável exatamente nos pontos (x,y) tais que x+e^{4y}>0.
A função não é diferenciável nos pontos da fronteira onde x+e^{4y}=0 (i.e.\ x=-e^{4y}).

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