Usando a definição, verifique se as seguintes funções são diferenciáveis:
Passo 1
O enunciado pede: usando a definição, verificar se a função
é diferenciável.
Informações dadas:
Informações dadas:
- A função é
. - A operação
exige que o argumento seja .
As perguntas implícitas que vou responder: (i) qual é o domínio de? (ii) em que pontos é diferenciável? (iii) em que pontos não é diferenciável?
Passo 2
Determinar o domínio de
. Definindo
, a função existe quando
. Como
para todo
, o domínio é
Em particular, pontos com
são pontos interiores do domínio; pontos com
formam a fronteira do domínio (cada tal ponto tem
).
Passo 3
Lembrando a definição de diferenciabilidade (a mais usada em prova): a função
é diferenciável em
se existe um mapa linear
(que será dado pela matriz gradiente) tal que, para
,
Quando as derivadas parciais
e
existem num ponto e são contínuas numa vizinhança desse ponto, então
é diferenciável nesse ponto e
. Vou usar esse critério para os pontos internos do domínio, e a definição direta (diferença quociente) para verificar os pontos da fronteira.
Passo 4
Calcular as derivadas parciais formais onde
. Escrevendo
, por regra da cadeia:
Essas fórmulas são válidas sempre que
.
Passo 5
Verificar continuidade das derivadas parciais nos pontos interiores do domínio. As expressões
são funções compostas de operações contínuas enquanto
. Logo ambas as derivadas parciais são contínuas em qualquer ponto com
. Pelo critério mencionado no Passo 3,
é diferenciável em todo ponto interior do domínio, isto é, em todo
com
Passo 6
Agora examinar pontos da fronteira, isto é, pontos
tais que
Nestes pontos
. Para verificar diferenciabilidade na fronteira é preciso checar a definição diretamente (não podemos invocar continuidade das parciais pois nelas aparecem fatores
que explodem quando o argumento tende a
).
Passo 7
Mostrar que a derivada parcial em
não é finita na fronteira. Tome
com
. Considere incrementos na direção
só (ou seja
com
). Então
pois
. Portanto a diferença quociente para a derivada parcial em
é
Quando
essa quantidade tende a
, logo a derivada parcial em
não existe como número real (é não finita). Assim não existe um linear
com coeficiente finito correspondente à derivada em
naquele ponto, e por consequência
não é diferenciável nesse ponto.
Passo 8
Concluir sobre diferenciabilidade total. Resumo:
- Em qualquer ponto com
: as derivadas parciais existem e são contínuas numa vizinhança, logo é diferenciável ali. O diferencial linear é dado por
- Em qualquer ponto com
: a derivada parcial em (pelo menos) não é finita, então não é diferenciável nesses pontos.
Resposta
A função
é diferenciável exatamente nos pontos
tais que
.
A função não é diferenciável nos pontos da fronteira onde (i.e.\
).
A função não é diferenciável nos pontos da fronteira onde