Questão 1 (2,5 pontos)

Dado o problema de valor inicial:
y^prime prime-(2 x+3) y^prime-y=0 y(-1)=1, y^prime(-1)=-1
(a) Verifique que o ponto x0=-1 é um ponto ordinário da EDOLH
(b) Determine sua solução pelo método das séries de potências, encontrando até o termo de ordem 5:

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial de segunda ordem
y'' - (2x+3),y' - y = 0
com condições iniciais em x0=-1:
y(-1)=1, y'(-1)=-1
O conteúdo é o método de séries de potências em torno de um ponto ordinário. Primeiro vamos verificar que x0=-1 é ordinário; depois montamos a série centrada em x=-1 e determinamos os coeficientes até o termo de ordem cinco.

Passo 2

Para testar se x0=-1 é ponto ordinário, escrevemos a equação na forma padrão
y'' + p(x),y' + q(x),y = 0,
dividindo por 1 (coeficiente de y''). Aqui
p(x) = -(2x+3), q(x) = -1
Como p e q são polinômios, eles são analíticos em toda reta real, em particular em x=-1. Logo -1 é ponto ordinário.

Passo 3

Assumimos solução em série centrada em x=-1. Defina
t = x + 1, y = sumn=0^infty an ,t^n
Então
y' = sumn=0^infty (n+1),an+1,t^n, y'' = sumn=0^infty (n+2)(n+1),an+2,t^n
No termo (2x+3)y' escrevemos 2x+3 = 2(t-1)+3=2t+1. Substituindo tudo em
y'' - (2t+1),y' - y = 0
e coletando as potências t^n, obtemos para n>=0:
(n+2)(n+1),an+2 ;-; 2,n,an ;-; (n+1),an+1 ;-; an ;=;0

Passo 4

Do coeficiente de t^n isolamos a recorrência:
an+2 = (2n+1),an ;+;(n+1),an+1(n+2)(n+1)
As condições iniciais em t=0 (isto é, x=-1) dão
a0 = y(-1)=1, a1 = y'(-1)=-1
Para n=0 a fórmula também se confirma:
2,a2 - a1 - a0=0 ;Rightarrow; a2=a0+a12=1+(-1)2=0

Passo 5

Usando a recorrência para obter até a5:
a2=0,
a3 = (2cdot1+1),a1 + 2,a23cdot2 = 3cdot(-1)+06 =-tfrac12,
a4 = (2cdot2+1),a2 + 3,a34cdot3 = 5cdot0 + 3cdot(-tfrac12)12 =-tfrac18,
a5 = (2cdot3+1),a3 + 4,a45cdot4 = 7cdot(-tfrac12)+4cdot(-tfrac18)20 =-tfrac15
Portanto a série até ordem cinco é
y = a0 + a1,t + a2,t^2 + a3,t^3 + a4,t^4 + a5,t^5 + cdots = 1 - t - tfrac12,t^3 - tfrac18,t^4 - tfrac15,t^5 + cdots,
onde t=x+1.

Resposta

y(x) = 1 - (x+1) - 12,(x+1)^3 - 18,(x+1)^4 - 15,(x+1)^5 + cdots

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