Questão 1 (2,5 pontos)
Dado o problema de valor inicial:
(a) Verifique que o ponto
é um ponto ordinário da EDOLH
(b) Determine sua solução pelo método das séries de potências, encontrando até o termo de ordem 5:
(b) Determine sua solução pelo método das séries de potências, encontrando até o termo de ordem 5:
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial de segunda ordem
com condições iniciais em
:
O conteúdo é o método de séries de potências em torno de um ponto ordinário. Primeiro vamos verificar que
é ordinário; depois montamos a série centrada em
e determinamos os coeficientes até o termo de ordem cinco.
Passo 2
Para testar se
é ponto ordinário, escrevemos a equação na forma padrão
dividindo por 1 (coeficiente de
). Aqui
Como
e
são polinômios, eles são analíticos em toda reta real, em particular em
. Logo
é ponto ordinário.
Passo 3
Assumimos solução em série centrada em
. Defina
Então
No termo
escrevemos
. Substituindo tudo em
e coletando as potências
, obtemos para
:
Passo 4
Do coeficiente de
isolamos a recorrência:
As condições iniciais em
(isto é,
) dão
Para
a fórmula também se confirma:
Passo 5
Usando a recorrência para obter até
:
Portanto a série até ordem cinco é
onde
.