Dada uma função
explique:
o que significa
ser bijetora?
o que significa
Passo 1
O enunciado pede para explicar o que significa uma função ser bijetora. Temos uma função
. Para dizer que ela é bijetora, vamos precisar dos conceitos de injetividade e sobrejetividade.
Passo 2
Uma função
é injetora (ou injetiva) quando elementos distintos de
são enviados para elementos distintos de
. Em outras palavras, se
então
Formalmente,
Isso garante que não “colapsamos” dois elementos de
num mesmo valor de
.
Passo 3
Uma função
é sobrejetora (ou sobrejetiva) quando cada elemento de
é imagem de pelo menos um elemento de
. Em termos formais,
Assim não sobra nenhum
que não tenha um “antecessor” em
.
Passo 4
Agora, dizemos que
é bijetora justamente se for simultaneamente injetora e sobrejetora. Equivalente a isso, podemos afirmar:
onde o “
” indica que esse
é único. Ou seja, cada
vem de exatamente um
.
Passo 5
Uma outra forma de ver bijetividade é via inversa:
é bijetora se, e somente se, existe uma função inversa
tal que
Resposta
A função
é bijetora se for ao mesmo tempo injetora (nenhum par distinto de
tem a mesma imagem) e sobrejetora (toda
é imagem de algum
). Equivalentemente,
existe um único
com
, e nesse caso
admite inversa
.