Dada uma função f: A B explique:
o que significa f ser bijetora?

Passo 1

O enunciado pede para explicar o que significa uma função ser bijetora. Temos uma função ,f: A to B. Para dizer que ela é bijetora, vamos precisar dos conceitos de injetividade e sobrejetividade.

Passo 2

Uma função f é injetora (ou injetiva) quando elementos distintos de A são enviados para elementos distintos de B. Em outras palavras, se
x1, x2 in A e x1 neq x2,
então
f(x1) neq f(x2)
Formalmente,
forall x1,x2in A,; f(x1)=f(x2);Longrightarrow; x1 = x2
Isso garante que não “colapsamos” dois elementos de A num mesmo valor de B.

Passo 3

Uma função f é sobrejetora (ou sobrejetiva) quando cada elemento de B é imagem de pelo menos um elemento de A. Em termos formais,
forall yin B,;exists xin A;tal que;f(x)=y
Assim não sobra nenhum yin B que não tenha um “antecessor” em A.

Passo 4

Agora, dizemos que f é bijetora justamente se for simultaneamente injetora e sobrejetora. Equivalente a isso, podemos afirmar:
forall yin B,;exists!,xin A;com;f(x)=y,
onde o “ !” indica que esse x é único. Ou seja, cada yin B vem de exatamente um xin A.

Passo 5

Uma outra forma de ver bijetividade é via inversa: f é bijetora se, e somente se, existe uma função inversa
f^-1: B to A
tal que
f^-1l(f(x)r)=xforall xin A e fl(f^-1(y)r)=yforall yin B

Resposta

A função f: A to B é bijetora se for ao mesmo tempo injetora (nenhum par distinto de A tem a mesma imagem) e sobrejetora (toda yin B é imagem de algum xin A). Equivalentemente, forall yin B existe um único xin A com f(x)=y, e nesse caso f admite inversa f^-1:Bto A.

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