Dada a função expressa pelos pares ordenados abaixo, construa a tabela
54
PROF. SÉRGIO M. GASPECHAK
10 INTERPOLAÇÃO
de diferenças divididas e polinômio que interpola a função.
|c|c|c|c|c| hline$x$ & -1 & 0 & 2 & 3 hline$y$ & 4 & 1 & -1 & -2 hline -1 0 2 3
4 1 -1 -2

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício nos dá alguns pares de valores de uma função, ou seja, pontos no plano (x, y). Nossa missão é construir uma tabela de diferenças divididas e, a partir dela, achar o polinômio que interpola essa função. Para isso, vamos precisar entender o que são diferenças divididas e como usá-las para encontrar o polinômio de interpolação. Não se preocupe, vou explicar tudinho passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos organizar os dados que temos em uma tabela. Temos os valores de $ x $ e os correspondentes valores de $ y $:
x
Esses pares de valores vão nos ajudar a construir a tabela de diferenças divididas, que é essencial para encontrar o polinômio interpolador usando o método de Newton.

Passo 3

Agora, vamos montar a tabela de diferenças divididas. A ideia é calcular as diferenças entre os valores de $ y $ para descobrir os coeficientes do polinômio. Vamos organizar a tabela com colunas para cada ordem de diferença dividida.
Começamos copiando os valores de $ x $ e $ y $:
y

Passo 4

Agora, vamos calcular as primeiras diferenças divididas. A diferença dividida de primeira ordem entre dois pontos é dada por:
f[xi, xi+1] = f(xi+1) - f(xi)xi+1 - xi
Calculando para cada par:
  • Entre $ x = -1 $ e $ x = 0 $:
x = -1
  • Entre $ x = 0 $ e $ x = 2 $:
x = 0
  • Entre $ x = 2 $ e $ x = 3 $:
f[-1, 0] = 1 - 40 - (-1) = -31 = -3
Atualizando a tabela:
x = 0

Passo 5

Vamos agora calcular as diferenças divididas de segunda ordem. A fórmula é:
f[xi, xi+1, xi+2] = f[xi+1, xi+2] - f[xi, xi+1]xi+2 - xi
Calculando:
  • Entre $ x = -1 $, $ x = 0 $ e $ x = 2 $:
x = -1
  • Entre $ x = 0 $, $ x = 2 $ e $ x = 3 $:
x = 0
Atualizando a tabela:
x = 2

Passo 6

Por fim, calculamos a diferença dividida de terceira ordem, que usa todos os quatro pontos:
f[-1, 0, 2, 3] = 0 - 0,66673 - (-1) = -0,66674 approx -0,1667
Tabela completa:
|c|c|c|c|c| hline x & -1 & 0 & 2 & 3 hline y & 4 & 1 & -1 & -2 hline f[xi, xi+1] & & -3 & -1 & -1 hline f[xi, xi+1, xi+2] & & & 0,6667 & 0 hline f[xi, xi+1, xi+2, xi+3] & & & & -0,1667 hline

Passo 7

Agora que temos todas as diferenças divididas, podemos construir o polinômio interpolador usando a fórmula de Newton:
P(x) = f[x0] + f[x0, x1](x - x0) + f[x0, x1, x2](x - x0)(x - x1) + f[x0, x1, x2, x3](x - x0)(x - x1)(x - x2)
Substituindo os valores:
P(x) = 4 + (-3)(x + 1) + 0,6667(x + 1)(x) + (-0,1667)(x + 1)(x)(x - 2)
Simplificando e desenvolvendo os termos:
P(x) = 4 - 3(x + 1) + 23(x + 1)x - 16(x + 1)x(x - 2)
Após simplificar todos os termos, chegamos ao polinômio final.

Resposta

O polinômio que interpola a função é:
P(x) = 4 - 3(x + 1) + 23(x + 1)x - 16(x + 1)x(x - 2)

Exercícios relacionados