Dada a função expressa pelos pares ordenados abaixo, construa a tabela
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PROF. SÉRGIO M. GASPECHAK
10 INTERPOLAÇÃO
de diferenças divididas e polinômio que interpola a função.
-1
0
2
3
4
1
-1
-2
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PROF. SÉRGIO M. GASPECHAK
10 INTERPOLAÇÃO
de diferenças divididas e polinômio que interpola a função.
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-1 | 0 | 2 | 3 |
|
4 | 1 | -1 | -2 |
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício nos dá alguns pares de valores de uma função, ou seja, pontos no plano (x, y). Nossa missão é construir uma tabela de diferenças divididas e, a partir dela, achar o polinômio que interpola essa função. Para isso, vamos precisar entender o que são diferenças divididas e como usá-las para encontrar o polinômio de interpolação. Não se preocupe, vou explicar tudinho passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos organizar os dados que temos em uma tabela. Temos os valores de $ x $ e os correspondentes valores de $ y $:
Esses pares de valores vão nos ajudar a construir a tabela de diferenças divididas, que é essencial para encontrar o polinômio interpolador usando o método de Newton.
Passo 3
Agora, vamos montar a tabela de diferenças divididas. A ideia é calcular as diferenças entre os valores de $ y $ para descobrir os coeficientes do polinômio. Vamos organizar a tabela com colunas para cada ordem de diferença dividida.
Começamos copiando os valores de $ x $ e $ y $:
Passo 4
Agora, vamos calcular as primeiras diferenças divididas. A diferença dividida de primeira ordem entre dois pontos é dada por:
Calculando para cada par:
- Entre $ x = -1 $ e $ x = 0 $:
- Entre $ x = 0 $ e $ x = 2 $:
- Entre $ x = 2 $ e $ x = 3 $:
Atualizando a tabela:
Passo 5
Vamos agora calcular as diferenças divididas de segunda ordem. A fórmula é:
Calculando:
- Entre $ x = -1 $, $ x = 0 $ e $ x = 2 $:
- Entre $ x = 0 $, $ x = 2 $ e $ x = 3 $:
Atualizando a tabela:
Passo 6
Por fim, calculamos a diferença dividida de terceira ordem, que usa todos os quatro pontos:
Tabela completa:
Passo 7
Agora que temos todas as diferenças divididas, podemos construir o polinômio interpolador usando a fórmula de Newton:
Substituindo os valores:
Simplificando e desenvolvendo os termos:
Após simplificar todos os termos, chegamos ao polinômio final.
Resposta
O polinômio que interpola a função é: