Dada a função f:[1,3] \times[-3,-1] \rightarrow \mathbb{R}, f(x, y)=\frac{x+y}{x-y} calcule:
(a) A aproximação de primeira ordem de f em (x, y)=(2,-2)
(b) A aproximação de segunda ordem de f em (x, y)=(2,-2)

Passo 1

O enunciado pede as expansões de Taylor de primeira e segunda ordem para a função
f(x,y)=\frac{x+y}{x-y}
em torno do ponto (2,-2). Para isso vamos precisar calcular
1. o valor f(2,-2),
2. as derivadas parciais primeiras \,f_x,f_y em (2,-2),
3. as derivadas parciais segundas \,f_{xx},f_{xy},f_{yy} em (2,-2),
e então montar os polinômios de Taylor.

Passo 2

Calculamos primeiro f(2,-2) e as derivadas parciais primeiras.
Definindo u=x+y e v=x-y, temos
f(x,y)=\frac{u}{v},\quad u_x=1,\;u_y=1,\;v_x=1,\;v_y=-1.
Logo
f_x=\frac{u_x\,v - u\,v_x}{v^2} =\frac{v - u}{v^2} =\frac{(x-y)-(x+y)}{(x-y)^2} =\frac{-2y}{(x-y)^2},
f_y=\frac{u_y\,v - u\,v_y}{v^2} =\frac{v+u}{v^2} =\frac{(x-y)+(x+y)}{(x-y)^2} =\frac{2x}{(x-y)^2}.
Em (2,-2) temos x-y=4, portanto
f(2,-2)=\frac{2+(-2)}{2-(-2)}=0, \quad f_x(2,-2)=\frac{-2\,( -2)}{4^2}=\frac{4}{16}=\tfrac14, \quad f_y(2,-2)=\frac{2\cdot2}{4^2}=\frac{4}{16}=\tfrac14.

Passo 3

A aproximação de primeira ordem (linear) em torno de (2,-2) é
L_1(x,y) =f(2,-2) +f_x(2,-2)\,(x-2) +f_y(2,-2)\,(y+2).
Substituindo os valores calculados,
L_1(x,y) =0+\tfrac14\,(x-2)+\tfrac14\,(y+2) =\frac{x-2+y+2}{4} =\frac{x+y}{4}.

Passo 4

Agora as derivadas segundas. Partindo de
f_x=-2y\,(x-y)^{-2}, \quad f_y=2x\,(x-y)^{-2},
temos
f_{xx} =\frac{\partial}{\partial x}\bigl[-2y\,(x-y)^{-2}\bigr] =4y\,(x-y)^{-3},
f_{xy} =\frac{\partial}{\partial y}\bigl[-2y\,(x-y)^{-2}\bigr] =-2\,(x-y)^{-2}-4y\,(x-y)^{-3},
f_{yy} =\frac{\partial}{\partial y}\bigl[2x\,(x-y)^{-2}\bigr] =4x\,(x-y)^{-3}.
Em (2,-2) onde x-y=4, isto dá
f_{xx}(2,-2)=\frac{4\cdot(-2)}{4^3}=-\frac{8}{64}=-\tfrac18, \quad f_{xy}(2,-2)= -\frac{2}{16}-\frac{4\cdot(-2)}{64} =-\tfrac{1}{8}+\tfrac{1}{8}=0, \quad f_{yy}(2,-2)=\frac{4\cdot2}{64}=\tfrac{1}{8}.

Passo 5

A aproximação de segunda ordem (quadrática) tem a forma
L_2(x,y) =f(2,-2) +f_x\,h+f_y\,k +\tfrac12\bigl(f_{xx}\,h^2+2f_{xy}\,h\,k+f_{yy}\,k^2\bigr),
onde h=x-2 e k=y+2. Substituindo tudo:
L_2(x,y) =0 +\tfrac14\,h+\tfrac14\,k +\tfrac12\Bigl(-\tfrac18\,h^2+2\cdot0\cdot h\,k+\tfrac18\,k^2\Bigr) =\frac{h+k}{4}-\frac{h^2}{16}+\frac{k^2}{16}.
Em função de x,y, com h=x-2 e k=y+2, fica
L_2(x,y) =\frac{x-2 + y+2}{4} -\frac{(x-2)^2}{16} +\frac{(y+2)^2}{16} =\frac{x+y}{4} -\frac{(x-2)^2}{16} +\frac{(y+2)^2}{16}.

Resposta

(a) L_1(x,y)=\frac{x+y}{4}.
(b) L_2(x,y)=\frac{x+y}{4}-\frac{(x-2)^2}{16}+\frac{(y+2)^2}{16}.

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