Dada a função
calcule:
(a) A aproximação de primeira ordem de
em
(b) A aproximação de segunda ordem de
em
(a) A aproximação de primeira ordem de
(b) A aproximação de segunda ordem de
Passo 1
O enunciado pede as expansões de Taylor de primeira e segunda ordem para a função
em torno do ponto
. Para isso vamos precisar calcular
. o valor
,
. as derivadas parciais primeiras
em
,
. as derivadas parciais segundas
em
,
e então montar os polinômios de Taylor.
e então montar os polinômios de Taylor.
Passo 2
Calculamos primeiro
e as derivadas parciais primeiras.
Definindo e
, temos
Definindo
Logo
Em
temos
, portanto
Passo 3
A aproximação de primeira ordem (linear) em torno de
é
Substituindo os valores calculados,
Passo 4
Agora as derivadas segundas. Partindo de
temos
Em
onde
, isto dá
Passo 5
A aproximação de segunda ordem (quadrática) tem a forma
onde
e
. Substituindo tudo:
Em função de
, com
e
, fica
Resposta
(a)
(b)
(b)