Dada a função f: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}, f(x, y)=x y+\cos (x y) calcule:
(a) A derivada parcial \frac{\partial f}{\partial y}(x, y) em (x, y)=(\pi, 0)
(b) A derivada de f(r(t)) no tempo t=0 dada a curva r(t)=(\cos t, \sin t)
Passo 1
O enunciado define a função f\colon \mathbb{R}^2\to\mathbb{R},
f(x,y)=x\,y+\cos(x\,y),
e pede:
(a) a derivada parcial \frac{\partial f}{\partial y}(x,y) em (x,y)=(\pi,0);
(b) a derivada de f(r(t)) em t=0 para a curva r(t)=(\cos t,\sin t).
Para (a) vamos usar definição de derivada parcial e regra de derivação de \cos(u). Para (b) vamos usar a regra da cadeia em várias variáveis:
\frac{d}{dt}f(r(t))=\nabla f(r(t))\cdot r'(t).
Passo 2
Calcular \displaystyle \frac{\partial f}{\partial y}(x,y).
Derivando termo a termo:
de x\,y em relação a y vem x;
de \cos(xy) vem -\sin(xy)\cdot\frac{\partial}{\partial y}(x\,y)=-x\,\sin(xy).
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