Dada a função f: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}, f(x, y)=x y+\cos (x y) calcule:
(a) A derivada parcial \frac{\partial f}{\partial y}(x, y) em (x, y)=(\pi, 0)
(b) A derivada de f(r(t)) no tempo t=0 dada a curva r(t)=(\cos t, \sin t)

Passo 1

O enunciado define a função
f\colon \mathbb{R}^2\to\mathbb{R},
f(x,y)=x\,y+\cos(x\,y),
e pede:
(a) a derivada parcial \frac{\partial f}{\partial y}(x,y) em (x,y)=(\pi,0);
(b) a derivada de f(r(t)) em t=0 para a curva r(t)=(\cos t,\sin t).
Para (a) vamos usar definição de derivada parcial e regra de derivação de \cos(u). Para (b) vamos usar a regra da cadeia em várias variáveis:
\frac{d}{dt}f(r(t))=\nabla f(r(t))\cdot r'(t).

Passo 2

Calcular \displaystyle \frac{\partial f}{\partial y}(x,y).
Derivando termo a termo:
  • de x\,y em relação a y vem x;
  • de \cos(xy) vem -\sin(xy)\cdot\frac{\partial}{\partial y}(x\,y)=-x\,\sin(xy).
    Logo
\frac{\partial f}{\partial y}(x,y) =x - x\,\sin(xy).
Em (x,y)=(\pi,0) temos \sin(\pi\cdot0)=0, então
\frac{\partial f}{\partial y}(\pi,0) =\pi - \pi\cdot 0 =\pi.

Passo 3

Calcular \displaystyle \frac{d}{dt}f(r(t)) em t=0 usando \nabla f\cdot r'.
  1. Gradiente de f:
\frac{\partial f}{\partial x}(x,y) =y - y\,\sin(xy), \quad \frac{\partial f}{\partial y}(x,y) =x - x\,\sin(xy).
  1. Em r(0)=(\cos0,\sin0)=(1,0) fica
\nabla f(1,0)=(0,\,1).
  1. Derivada de r(t):
r'(t)=(-\sin t,\cos t), \quad r'(0)=(0,1).
  1. Produto escalar:
\frac{d}{dt}f(r(t))\Big|_{t=0} =\nabla f(1,0)\cdot r'(0) =(0,1)\cdot(0,1) =1.

Resposta

(a) \pi
(b) 1

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