Dada a função f: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}, f(x, y, z)=x+x y+x y z calcule:
(a) O gradiente de f em (x, y, z)=(2,1,0).
(b) A derivada direcional \frac{\partial f}{\partial v}(x, y, z) na direção v=(1,1,1) e ponto (x, y, z)=(2,1,0).

Passo 1

O enunciado define a função
f(x,y,z)=x + x\,y + x\,y\,z
e pede (a) o gradiente de f em (2,1,0) e (b) a derivada direcional de f naquele ponto na direção v=(1,1,1). Vamos usar cálculo de derivadas parciais para o gradiente e, em seguida, projetar o gradiente na direção unitária de v.

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais de f:
\frac{\partial f}{\partial x} =1 + y + y\,z, \quad \frac{\partial f}{\partial y} =x + x\,z, \quad \frac{\partial f}{\partial z} =x\,y.

Passo 3

Avaliamos parciais em (x,y,z)=(2,1,0):
\frac{\partial f}{\partial x}(2,1,0) = 1 + 1 + 1\cdot0=2, \quad \frac{\partial f}{\partial y}(2,1,0) = 2 + 2\cdot0=2, \quad \frac{\partial f}{\partial z}(2,1,0) = 2\cdot1=2.
Logo,
\nabla f(2,1,0) = (2,2,2).

Passo 4

Para a derivada direcional na direção v usamos o vetor unitário
u = \frac{v}{\|v\|} = \frac{(1,1,1)}{\sqrt{1^2+1^2+1^2}} = \frac{(1,1,1)}{\sqrt{3}}.
A derivada direcional é
D_{u}f(2,1,0) = \nabla f(2,1,0)\cdot u =(2,2,2)\cdot\frac{(1,1,1)}{\sqrt{3}} =\frac{2+2+2}{\sqrt{3}} =\frac{6}{\sqrt{3}} =2\sqrt{3}.

Resposta

(a) \nabla f(2,1,0) = (2,2,2).
(b) \displaystyle \frac{\partial f}{\partial v}(2,1,0) = 2\sqrt{3}.

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