Dada uma função
definimos o laplaciano de
como sendo
onde
é o gradiente de
. Se o laplaciano é igual a zero dizemos que
é harmônica, se
dizemos que
é superharmônica (resp. subharmônica). Se
então podemos afirmar que
é:
a. Superharmônica.
b. Harmônica.
c. Nenhuma das outras alternativas.
d. Subharmônica.
- e. Não superharmônica. $$
a. Superharmônica.
b. Harmônica.
c. Nenhuma das outras alternativas.
d. Subharmônica.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão juntos! O enunciado fala sobre funções de duas variáveis e o laplaciano delas. A gente precisa descobrir se a função $ f(x, y) = e^{y} \sin(x) - 2x^{4} - 2y^{4} $ é superharmônica, harmônica, subharmônica ou não superharmônica. Para isso, vamos calcular o laplaciano de $ f $ e ver qual condição ele satisfaz.
Passo 2
Primeiro, o que é o laplaciano? É uma operação que aplicamos a uma função e que nos dá uma ideia de como a função se comporta em torno de um ponto. Matematicamente, para uma função $ f(x, y) $, o laplaciano é dado por:
Ou seja, é a soma das segundas derivadas parciais em relação a $ x $ e $ y $.
Passo 3
Agora, vamos calcular as segundas derivadas de $ f(x, y) = e^{y} \sin(x) - 2x^{4} - 2y^{4} $.
Primeiro, a segunda derivada em relação a $ x $:
Agora, a segunda derivada em relação a $ y $:
Passo 4
Com as segundas derivadas calculadas, vamos somá-las para obter o laplaciano:
Observa que $ -e^{y} \sin(x) + e^{y} \sin(x) $ se cancelam, então:
Passo 5
Agora, vamos analisar o sinal do laplaciano:
Sabemos que $ x^{2} + y^{2} \geq 0 $ para todos os $ x $ e $ y $. Então:
Mais especificamente, é sempre menor ou igual a zero, e igual a zero apenas quando $ x = y = 0 $.
Passo 6
De acordo com o enunciado:
- Se $ \operatorname{lap}(f) = 0 $, a função é harmônica.
- Se $ \operatorname{lap}(f) > 0 $, a função é superharmônica.
- Se $ \operatorname{lap}(f) < 0 $, a função é subharmônica.
No nosso caso, $ \operatorname{lap}(f) \leq 0 $, ou seja, $ \operatorname{lap}(f) $ é sempre negativo (exceto no ponto $ (0,0) $).
Resposta
d. Subharmônica.