Dada uma função f: D subset R^2 R definimos o laplaciano de f como sendo lap(f):=div(nabla f) onde nabla f é o gradiente de f. Se o laplaciano é igual a zero dizemos que f é harmônica, se lap(f)>0(resp lap(f)<0) dizemos que f é superharmônica (resp. subharmônica). Se f(x, y)=e^y sin (x)-2 x^4-2 y^4 então podemos afirmar que f é:
a. Superharmônica.
b. Harmônica.
c. Nenhuma das outras alternativas.
d. Subharmônica.
  • e. Não superharmônica. $$

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! O enunciado fala sobre funções de duas variáveis e o laplaciano delas. A gente precisa descobrir se a função $ f(x, y) = e^{y} \sin(x) - 2x^{4} - 2y^{4} $ é superharmônica, harmônica, subharmônica ou não superharmônica. Para isso, vamos calcular o laplaciano de $ f $ e ver qual condição ele satisfaz.

Passo 2

Primeiro, o que é o laplaciano? É uma operação que aplicamos a uma função e que nos dá uma ideia de como a função se comporta em torno de um ponto. Matematicamente, para uma função $ f(x, y) $, o laplaciano é dado por:
f(x, y)
Ou seja, é a soma das segundas derivadas parciais em relação a $ x $ e $ y $.

Passo 3

Agora, vamos calcular as segundas derivadas de $ f(x, y) = e^{y} \sin(x) - 2x^{4} - 2y^{4} $.
Primeiro, a segunda derivada em relação a $ x $:
f(x, y) = e^y sin(x) - 2x^4 - 2y^4
x
Agora, a segunda derivada em relação a $ y $:
partial fpartial x = e^y cos(x) - 8x^3
partial^2 fpartial x^2 = -e^y sin(x) - 24x^2

Passo 4

Com as segundas derivadas calculadas, vamos somá-las para obter o laplaciano:
lap(f) = (-e^y sin(x) - 24x^2) + (e^y sin(x) - 24y^2)
Observa que $ -e^{y} \sin(x) + e^{y} \sin(x) $ se cancelam, então:
-e^y sin(x) + e^y sin(x)

Passo 5

Agora, vamos analisar o sinal do laplaciano:
lap(f) = -24(x^2 + y^2)
Sabemos que $ x^{2} + y^{2} \geq 0 $ para todos os $ x $ e $ y $. Então:
x^2 + y^2 >= 0
Mais especificamente, é sempre menor ou igual a zero, e igual a zero apenas quando $ x = y = 0 $.

Passo 6

De acordo com o enunciado:
  • Se $ \operatorname{lap}(f) = 0 $, a função é harmônica.
  • Se $ \operatorname{lap}(f) > 0 $, a função é superharmônica.
  • Se $ \operatorname{lap}(f) < 0 $, a função é subharmônica.
No nosso caso, $ \operatorname{lap}(f) \leq 0 $, ou seja, $ \operatorname{lap}(f) $ é sempre negativo (exceto no ponto $ (0,0) $).

Resposta

d. Subharmônica.

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