Use o Teorema do Divergente para calcular a integral de superfície integral duplaS F cdot d S; ou seja, calcule o fluxo de F através de S.
F(x, y, z)=(x+e^y tg z) i+3 x e^x z j+(cos y-z) k,
S é a superfície com equação x^4+y^4+z^4=1

Passo 1

O enunciado pede o fluxo de F(x,y,z)=(x+e^ytgz),i+3x e^xz,j+(cos y-z),k através da superfície fechada S:;x^4+y^4+z^4=1. O conteúdo é o Teorema da Divergência, que transforma a integral de superfície num integral tripla da divergência de F sobre o volume V limitado por S.

Passo 2

Para usar o teorema, calculamos a divergência
nablacdotF=partialpartial x(x+e^ytgz)+partialpartial y(3x e^xz)+partialpartial z(cos y-z)
Derivando: partialx(x)=1, partialx(e^ytgz)=0, partialy(3x e^xz)=0 e partialz(cos y-z)=-1. Logo
nablacdotF=1+0-1=0

Passo 3

Como a divergência é zero em todo o volume V=(x,y,z):x^4+y^4+z^4<=1, a integral tripla
integral triplaV(nablacdotF),dV
é zero. Pelo Teorema da Divergência, esse resultado é igual ao fluxo de F através de S.

Resposta

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