é dada uma função
em um intervalo de comprimento
. Em cada caso, esboce os gráficos das extensōes par e ímpar de
de período
.
Passo 1
O enunciado dá a função
em um intervalo de comprimento L. Precisamos construir as extensões par e ímpar periódicas de período 2L (isto é, 2·3=6) e esboçar seus gráficos.
Passo 2
Primeiro identificamos L=3 e entendemos que a extensão periódica será feita em torno do segmento [0,3], refletindo esse trecho em [-3,0] e depois repetindo tudo de forma periódica de comprimento 6.
Passo 3
Para a extensão par: definimos em [-3,3]
ou seja, para x em [-3,0] tomamos f_{\rm par}(x)=f(-x). No nosso caso:
- Em -3\le x<-2 temos |x|\in[2,3) então f(|x|)=1. Logo f_{\rm par}(x)=1.
- Em -2\le x<0 temos |x|\in[0,2) então f(|x|)=|x|=-x. Logo f_{\rm par}(x)=-x.
Em [0,2) vale f_{\rm par}(x)=x e em [2,3) vale f_{\rm par}(x)=1.
Depois, estendemos f_{\rm par} de forma periódica de período 6. Ou seja, replicamos o trecho de [-3,3] a cada intervalo de comprimento 6 (por exemplo, em [3,9], [-9,-3] etc.), mantendo o mesmo perfil simétrico (paridade).
Passo 4
Para a extensão ímpar: definimos em [-3,3]
ou seja, para x em [-3,0] tomamos f_{\rm imp}(x)=-f(-x). No nosso caso:
- Em -3\le x<-2 temos f(|x|)=1, sgn(x)=-1, logo f_{\rm imp}(x)=-1.
- Em -2\le x<0 temos f(|x|)=|x|, sgn(x)=-1, logo f_{\rm imp}(x)=-|x|=x.
Em [0,2) vale f_{\rm imp}(x)=x e em [2,3) vale f_{\rm imp}(x)=1.
Por fim, estendemos f_{\rm imp} de forma periódica de período 6, replicando o bloco de [-3,3] a cada 6 unidades. O resultado é uma função ímpar (f_{\rm imp}(-x)=-f_{\rm imp}(x)) com saltos e rampas iguais em cada período.
Passo 5
Resumo dos perfis num período [-3,3]:
- f_{\rm par}(x)=
- f_{\rm imp}(x)=
-1,&xin[-3,-2),x,&xin[-2,0),x,&xin[0,2),1,&xin[2,3)
Resposta
Extensão par: é a função periódica de período 6 que, em cada intervalo [-3,3], vale 1 em [-3,-2), desce linearmente de (–2,2) a (0,0), sobe linearmente de (0,0) a (2,2) e vale 1 em [2,3), repetindo esse padrão a cada 6 unidades de forma espelhada.
Extensão ímpar: é a função periódica de período 6 que, em cada intervalo [-3,3], vale –1 em [-3,-2), sobe linearmente de (–2,–2) a (0,0), sobe linearmente de (0,0) a (2,2) e vale 1 em [2,3), repetindo esse padrão a cada 6 unidades com sinal trocado para x negativos.