é dada uma função f em um intervalo de comprimento L. Em cada caso, esboce os gráficos das extensōes par e ímpar de f de período 2 L.
x, & 0 <= x<2, 1, & 2 <= x<3

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)=x,&0<= x<2,1,&2<= x<3
em um intervalo de comprimento L. Precisamos construir as extensões par e ímpar periódicas de período 2L (isto é, 2·3=6) e esboçar seus gráficos.

Passo 2

Primeiro identificamos L=3 e entendemos que a extensão periódica será feita em torno do segmento [0,3], refletindo esse trecho em [-3,0] e depois repetindo tudo de forma periódica de comprimento 6.

Passo 3

Para a extensão par: definimos em [-3,3]
frm par(x)=f(|x|)
ou seja, para x em [-3,0] tomamos f_{\rm par}(x)=f(-x). No nosso caso:
  • Em -3\le x<-2 temos |x|\in[2,3) então f(|x|)=1. Logo f_{\rm par}(x)=1.
  • Em -2\le x<0 temos |x|\in[0,2) então f(|x|)=|x|=-x. Logo f_{\rm par}(x)=-x.
    Em [0,2) vale f_{\rm par}(x)=x e em [2,3) vale f_{\rm par}(x)=1.
    Depois, estendemos f_{\rm par} de forma periódica de período 6. Ou seja, replicamos o trecho de [-3,3] a cada intervalo de comprimento 6 (por exemplo, em [3,9], [-9,-3] etc.), mantendo o mesmo perfil simétrico (paridade).

Passo 4

Para a extensão ímpar: definimos em [-3,3]
frm imp(x)=sgn(x),f(|x|)
ou seja, para x em [-3,0] tomamos f_{\rm imp}(x)=-f(-x). No nosso caso:
  • Em -3\le x<-2 temos f(|x|)=1, sgn(x)=-1, logo f_{\rm imp}(x)=-1.
  • Em -2\le x<0 temos f(|x|)=|x|, sgn(x)=-1, logo f_{\rm imp}(x)=-|x|=x.
    Em [0,2) vale f_{\rm imp}(x)=x e em [2,3) vale f_{\rm imp}(x)=1.
    Por fim, estendemos f_{\rm imp} de forma periódica de período 6, replicando o bloco de [-3,3] a cada 6 unidades. O resultado é uma função ímpar (f_{\rm imp}(-x)=-f_{\rm imp}(x)) com saltos e rampas iguais em cada período.

Passo 5

Resumo dos perfis num período [-3,3]:
  • f_{\rm par}(x)=
    1,&xin[-3,-2),-x,&xin[-2,0),x,&xin[0,2),1,&xin[2,3),
  • f_{\rm imp}(x)=
    -1,&xin[-3,-2),x,&xin[-2,0),x,&xin[0,2),1,&xin[2,3)

Resposta

Extensão par: é a função periódica de período 6 que, em cada intervalo [-3,3], vale 1 em [-3,-2), desce linearmente de (–2,2) a (0,0), sobe linearmente de (0,0) a (2,2) e vale 1 em [2,3), repetindo esse padrão a cada 6 unidades de forma espelhada.
Extensão ímpar: é a função periódica de período 6 que, em cada intervalo [-3,3], vale –1 em [-3,-2), sobe linearmente de (–2,–2) a (0,0), sobe linearmente de (0,0) a (2,2) e vale 1 em [2,3), repetindo esse padrão a cada 6 unidades com sinal trocado para x negativos.

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