Dada uma função
, definimos
Prove que
Passo 1
Temos uma função
e subconjuntos
. A pré-imagem de um conjunto
é definida por
. Queremos provar a igualdade entre pré-imagens de união.
Passo 2
Para mostrar a igualdade de conjuntos, vamos provar separadamente as duas inclusões:
e
.
Passo 3
Mostremos primeiro
. Seja
. Pela definição,
, ou seja,
ou
. No primeiro caso
; no segundo
. Logo
.
Passo 4
Agora mostremos
. Seja
. Então
ou
. Se
, então
; se
, então
. Em ambos os casos
.
Passo 5
Como estabelecemos as duas inclusões, concluímos que as pré-imagens coincidem no caso da união.