Dada uma função f: A longrightarrow B, X subset A, Y subset B, definimos
f(X)=y in B ; y=f(x) com x in X e f^-1(Y)=x in A ; f(x) in Y
Prove que
f^-1(Y1 cup Y2)=f^-1(Y1) cup f^-1(Y2)

Passo 1

Temos uma função f: A to B e subconjuntos Y1, Y2 subset B. A pré-imagem de um conjunto Ysubset B é definida por f^-1(Y)=xin A;,f(x)in Y. Queremos provar a igualdade entre pré-imagens de união.

Passo 2

Para mostrar a igualdade de conjuntos, vamos provar separadamente as duas inclusões: f^-1(Y1 cup Y2) subseteq f^-1(Y1) cup f^-1(Y2) e f^-1(Y1) cup f^-1(Y2) subseteq f^-1(Y1 cup Y2).

Passo 3

Mostremos primeiro f^-1(Y1 cup Y2) subseteq f^-1(Y1) cup f^-1(Y2). Seja xin f^-1(Y1 cup Y2). Pela definição, f(x)in Y1cup Y2, ou seja, f(x)in Y1 ou f(x)in Y2. No primeiro caso xin f^-1(Y1); no segundo xin f^-1(Y2). Logo xin f^-1(Y1)cup f^-1(Y2).

Passo 4

Agora mostremos f^-1(Y1) cup f^-1(Y2) subseteq f^-1(Y1 cup Y2). Seja xin f^-1(Y1)cup f^-1(Y2). Então xin f^-1(Y1) ou xin f^-1(Y2). Se xin f^-1(Y1), então f(x)in Y1subseteq Y1cup Y2; se xin f^-1(Y2), então f(x)in Y2subseteq Y1cup Y2. Em ambos os casos xin f^-1(Y1cup Y2).

Passo 5

Como estabelecemos as duas inclusões, concluímos que as pré-imagens coincidem no caso da união.

Resposta

f^-1(Y1 cup Y2) = f^-1(Y1) cup f^-1(Y2)

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