Prove que
para todo
.
Passo 1
Resumo do enunciado: queremos mostrar que para todo par de reais positivos
vale a desigualdade
O conteúdo principal é desigualdades e vamos usar a desigualdade entre a média aritmética e a média geométrica (AM–GM).
Passo 2
Primeiro, vou reescrever o lado esquerdo numa forma que facilite o uso da AM–GM. Observe que
Passo 3
Defino agora duas variáveis positivas
Repare que ambas são maiores que zero e que
Repare que ambas são maiores que zero e que
Passo 4
Aplicando a desigualdade AM–GM para
e
, temos
o que implica
Passo 5
Como mostramos que
e esta expressão é exatamente o nosso lado esquerdo original, concluímos que
para todo
.
Resposta
A desigualdade está provada usando AM–GM, pois reescrevemos o lado esquerdo como
e mostramos que sempre é maior ou igual a 2.