Prove que (1a+1b) raiza b >= 2 para todo a, b in R^+.

Passo 1

Resumo do enunciado: queremos mostrar que para todo par de reais positivos a, b vale a desigualdade
l(1a+1br)raizab>= 2
O conteúdo principal é desigualdades e vamos usar a desigualdade entre a média aritmética e a média geométrica (AM–GM).

Passo 2

Primeiro, vou reescrever o lado esquerdo numa forma que facilite o uso da AM–GM. Observe que
l(1a+1br)raizab =raizaba+raizabb =raizba+raizab

Passo 3

Defino agora duas variáveis positivas
x,y=raizbacdotraizab=1

Repare que ambas são maiores que zero e que

Passo 4

Aplicando a desigualdade AM–GM para x e y, temos
x+y2>=raizx,y=raiz1=1
o que implica
x+y>= 2

Passo 5

Como mostramos que
raiztfracba+raiztfracab>=2,
e esta expressão é exatamente o nosso lado esquerdo original, concluímos que
l(1a+1br)raizab>= 2
para todo a,b>0.

Resposta

A desigualdade está provada usando AM–GM, pois reescrevemos o lado esquerdo como raizb/a+raiza/b e mostramos que sempre é maior ou igual a 2.

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