Determine o seguinte subconjunto:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinar o subconjunto que é a interseção de todos os intervalos da forma
onde
é um número natural. Aqui, vamos usar conceitos de intervalos, interseções de conjuntos e limites. Basicamente, precisamos descobrir quais números estão em todos esses intervalos ao mesmo tempo.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa a interseção desses intervalos. A interseção de vários conjuntos é o conjunto de elementos que estão presentes em todos eles. No nosso caso, estamos procurando os números que estão dentro de todos os intervalos
para cada
.
Passo 3
Agora, vamos analisar como esses intervalos se comportam conforme o valor de
aumenta. Quando
aumenta, o valor de
diminui. Por exemplo:
- Para
: - Para
: - Para
: - E assim por diante…
O que percebemos é que, conforme
cresce, os intervalos ficam menores e menores, se aproximando de zero. Isso significa que estamos “focando” cada vez mais próximo desse ponto.
Passo 4
Para um número
estar na interseção de todos esses intervalos, ele precisa satisfazer a condição
para todo
. Vamos pensar:
- Se
, então está em todos os intervalos, porque é sempre verdadeiro. - Se
, digamos , existe algum grande o suficiente que , ou seja, . Nesse caso, não estaria no intervalo quando , por exemplo.
Portanto, o único número que está em todos os intervalos é
.