Determine o seguinte subconjunto:
capn in N(-1n, 1n)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinar o subconjunto que é a interseção de todos os intervalos da forma (-1n, 1n) onde n é um número natural. Aqui, vamos usar conceitos de intervalos, interseções de conjuntos e limites. Basicamente, precisamos descobrir quais números estão em todos esses intervalos ao mesmo tempo.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa a interseção desses intervalos. A interseção de vários conjuntos é o conjunto de elementos que estão presentes em todos eles. No nosso caso, estamos procurando os números que estão dentro de todos os intervalos (-1n, 1n) para cada n in N.

Passo 3

Agora, vamos analisar como esses intervalos se comportam conforme o valor de n aumenta. Quando n aumenta, o valor de 1n diminui. Por exemplo:
  • Para n = 1: (-1, 1)
  • Para n = 2: (-12, 12)
  • Para n = 10: (-0,1, 0,1)
  • E assim por diante…
O que percebemos é que, conforme n cresce, os intervalos ficam menores e menores, se aproximando de zero. Isso significa que estamos “focando” cada vez mais próximo desse ponto.

Passo 4

Para um número x estar na interseção de todos esses intervalos, ele precisa satisfazer a condição -1n < x < 1n para todo n in N. Vamos pensar:
  • Se x = 0, então 0 está em todos os intervalos, porque -1n < 0 < 1n é sempre verdadeiro.
  • Se x neq 0, digamos x = 0,1, existe algum n grande o suficiente que 1n < 0,1, ou seja, n > 10. Nesse caso, x = 0,1 não estaria no intervalo quando n = 11, por exemplo.
Portanto, o único número que está em todos os intervalos é 0.

Resposta

0

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