Dada uma função f: A longrightarrow B, X subset A, Y subset B, definimos
f(X)=y in B ; y=f(x) com x in X e f^-1(Y)=x in A ; f(x) in Y
Prove que
f(X1 cap X2) subset f(X1) cap f(X2)

Passo 1

O enunciado nos dá uma função f: A to B e dois subconjuntos X1, X2 subset A. Precisamos provar que a imagem de sua interseção está contida na interseção das imagens, ou seja, f(X1 cap X2) subset f(X1) cap f(X2). Vamos usar a definição de imagem direta e um argumento de “elemento genérico”.

Passo 2

Seja y in f(X1 cap X2). Pela definição de imagem direta, existe x in X1 cap X2 tal que y = f(x). Como x pertence simultaneamente a X1 e a X2, concluímos que y = f(x) pertence a f(X1) e também a f(X2). Logo y in f(X1) cap f(X2). Como y era um elemento arbitrário de f(X1 cap X2), isso mostra a inclusão desejada.

Resposta

f(X1 cap X2) subset f(X1) cap f(X2)

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