Dada a função f: \mathbb{R}^{2} \mapsto \mathbb{R} tal que f(x, y)= x^{2} y \cos (x y \pi), calcule \frac{\partial f}{\partial x}(-2,1) e \frac{\partial f}{\partial y}(-2,1) e interprete estes números como inclinações.

Passo 1

O enunciado pede as derivadas parciais de f(x,y)=x^{2}y\cos(\pi x y) no ponto (-2,1) e que a gente interprete esses valores como inclinações da superfície. Vamos usar regras de derivação (produto e cadeia) para obter \partial f/\partial x e \partial f/\partial y de forma geral e depois avaliar em (-2,1).

Passo 2

Para \displaystyle\frac{\partial f}{\partial x}(x,y) aplicamos produto a u(x,y)=x^{2}y e v(x,y)=\cos(\pi x y), e cadeia em v:
\frac{\partial f}{\partial x}(x,y) = \frac{\partial u}{\partial x}v + u\,\frac{\partial v}{\partial x} = (2xy)\cos(\pi x y) + x^{2}y\bigl(-\sin(\pi x y)\bigr)\cdot(\pi y).
Simplificando,
\frac{\partial f}{\partial x}(x,y) = 2xy\cos(\pi x y)\;-\;\pi x^{2}y^{2}\sin(\pi x y).

Passo 3

Agora avaliamos em (-2,1). Note que \cos(\pi\cdot(-2)\cdot1)=\cos(-2\pi)=1 e \sin(-2\pi)=0. Assim,
\frac{\partial f}{\partial x}(-2,1) =2\cdot(-2)\cdot1\cdot1 \;-\;\pi\cdot(-2)^{2}\cdot1^{2}\cdot0 =-4-0=-4.

Passo 4

Para \displaystyle\frac{\partial f}{\partial y}(x,y) fazemos produto em u(x,y)=x^{2}y e v(x,y)=\cos(\pi x y), e cadeia em v:
\frac{\partial f}{\partial y}(x,y) = x^{2}\cos(\pi x y) + x^{2}y\bigl(-\sin(\pi x y)\bigr)\cdot(\pi x).
Ou seja,
\frac{\partial f}{\partial y}(x,y) = x^{2}\cos(\pi x y)\;-\;\pi x^{3}y\sin(\pi x y).
Em (-2,1) usamos de novo \cos(-2\pi)=1 e \sin(-2\pi)=0:
\frac{\partial f}{\partial y}(-2,1) =(-2)^{2}\cdot1 \;-\;\pi\cdot(-2)^{3}\cdot1\cdot0 =4-0=4.

Passo 5

A interpretação é que essas derivadas parciais dão as inclinações da superfície z=f(x,y) nas direções dos eixos coordenados. Em (-2,1):
  • \displaystyle\frac{\partial f}{\partial x}=-4 significa que, mantendo y=1 fixo, ao aumentar x a superfície desce a uma taxa de 4 unidades de z por unidade de x.
  • \displaystyle\frac{\partial f}{\partial y}=4 significa que, mantendo x=-2 fixo, ao aumentar y a superfície sobe a uma taxa de 4 unidades de z por unidade de y.

Resposta

\frac{\partial f}{\partial x}(-2,1)=-4, \quad \frac{\partial f}{\partial y}(-2,1)=4.

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