Dada a função
, estude o sinal da função
tal que
, e a partir destas informações, esboce a interseção do gráfico de
com o plano
.
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede duas coisas:
- Definir
e estudar o sinal de
.
2. A partir dessas informações, esboçar a curva de interseção do gráfico de com o plano
, ou seja, a função
.
2. A partir dessas informações, esboçar a curva de interseção do gráfico de
Para isso vamos primeiro calcular a derivada parcial de
em relação a
e depois avaliar em
; em seguida usamos comportamento da exponencial e do polinômio para esboçar
.
Passo 2
Começamos por
onde
. Pela regra do produto e cadeia,
Como
e
,
Passo 3
Agora avaliamos em
. Substituindo
na expressão acima:
Logo
Passo 4
Estudamos o sinal de
pois
para todo
. As raízes de
são
Fazendo a análise de sinais em cada intervalo, obtemos:
- Para :
e
.
- Para :
e
.
- Para :
e
.
- Para :
e
.
- Para
- Para
- Para
- Para
Portanto
tem o mesmo sinal de
e concluímos:
- em
,
- em
,
com zeros exatamente em ,
e
.
-
-
com zeros exatamente em
Passo 5
Para esboçar a interseção com o plano
consideramos
Note que
O polinômio
tem uma única raiz real aproximadamente em
. Assim
é negativo para
, cruza o eixo
em
e cresce rapidamente para
depois disso.
Resposta
O sinal de
é dado por
- em
,
- em
,
com zeros em ,
e
.
-
-
com zeros em
A interseção com
é a curva
que fica negativa até
, cruza o plano
aí e cresce para
conforme
.