Dada a função f(x, y)=e^{x y^{2}}\left(x^{3}-2 x^{2} y+y-1\right), estude o sinal da função g: \mathbb{R} \mapsto \mathbb{R} tal que g(x)=\frac{\partial f}{\partial x}(x, 1), e a partir destas informações, esboce a interseção do gráfico de f com o plano y=-1.

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x,y)=e^{x\,y^{2}}\bigl(x^{3}-2x^{2}y+y-1\bigr)
e pede duas coisas:
  1. Definir
g(x)=\frac{\partial f}{\partial x}(x,1)
e estudar o sinal de g.
2. A partir dessas informações, esboçar a curva de interseção do gráfico de f com o plano y=-1, ou seja, a função x\mapsto f(x,-1).
Para isso vamos primeiro calcular a derivada parcial de f em relação a x e depois avaliar em y=1; em seguida usamos comportamento da exponencial e do polinômio para esboçar f(x,-1).

Passo 2

Começamos por
f(x,y)=e^{x y^2}\,\varphi(x,y),
onde \varphi(x,y)=x^3-2x^2y+y-1. Pela regra do produto e cadeia,
\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}\bigl(e^{x y^2}\bigr)\,\varphi(x,y) +e^{x y^2}\,\frac{\partial\varphi}{\partial x}(x,y).
Como \partial_x e^{x y^2}=y^2\,e^{x y^2} e \partial_x\varphi=3x^2-4xy,
\frac{\partial f}{\partial x}(x,y) =e^{x y^2}\Bigl[y^2\,(x^3-2x^2y+y-1)+(3x^2-4xy)\Bigr].

Passo 3

Agora avaliamos em y=1. Substituindo y=1 na expressão acima:
g(x)=\frac{\partial f}{\partial x}(x,1) =e^{x}\Bigl[1\cdot(x^3-2x^2+1-1)+(3x^2-4x)\Bigr] =e^{x}\bigl(x^3-2x^2+3x^2-4x\bigr).
Logo
g(x)=e^{x}\bigl(x^3+x^2-4x\bigr) =e^{x}\,x\,(x^2+x-4).

Passo 4

Estudamos o sinal de
h(x)=x\,(x^2+x-4),
pois e^x>0 para todo x. As raízes de h são
x=0,\quad x=\frac{-1\pm\sqrt{1+16}}{2} =\frac{-1\pm\sqrt{17}}{2} \approx -2{,}56,\;1{,}56.
Fazendo a análise de sinais em cada intervalo, obtemos:
- Para x< -2{,}56: x<0 e x^2+x-4>0 \,\Rightarrow h(x)<0.
- Para -2{,}56<x<0: x<0 e x^2+x-4<0 \,\Rightarrow h(x)>0.
- Para 0<x<1{,}56: x>0 e x^2+x-4<0 \,\Rightarrow h(x)<0.
- Para x>1{,}56: x>0 e x^2+x-4>0 \,\Rightarrow h(x)>0.
Portanto g(x) tem o mesmo sinal de h(x) e concluímos:
- g(x)<0 em (-\infty,\,-2{,}56)\cup(0,\,1{,}56),
- g(x)>0 em (-2{,}56,\,0)\cup(1{,}56,\,\infty),
com zeros exatamente em x=-2{,}56, 0 e 1{,}56.

Passo 5

Para esboçar a interseção com o plano y=-1 consideramos
z=f(x,-1) =e^{\,x\cdot(-1)^2}\bigl(x^3-2x^2(-1)-1-1\bigr) =e^{x}\bigl(x^3+2x^2-2\bigr).
Note que
\lim_{x\to-\infty}e^{x}(x^3+2x^2-2)=0^-\quad\text{e}\quad \lim_{x\to+\infty}e^{x}(x^3+2x^2-2)=+\infty.
O polinômio x^3+2x^2-2 tem uma única raiz real aproximadamente em x\approx0{,}84. Assim f(x,-1) é negativo para x<0{,}84, cruza o eixo z=0 em x\approx0{,}84 e cresce rapidamente para +\infty depois disso.

Resposta

O sinal de
g(x)=\frac{\partial f}{\partial x}(x,1) =e^{x}\,x\,(x^2+x-4)
é dado por
- g(x)<0 em (-\infty,\,-2{,}56)\cup(0,\,1{,}56),
- g(x)>0 em (-2{,}56,\,0)\cup(1{,}56,\,\infty),
com zeros em x=-2{,}56, 0 e 1{,}56.
A interseção com y=-1 é a curva
z=e^{x}(x^3+2x^2-2),
que fica negativa até x\approx0{,}84, cruza o plano z=0 aí e cresce para +\infty conforme x\to+\infty.

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