Seja f(x, y)=\left\{\begin{array}{lll}\frac{x^{3}}{x^{2}+y^{2}} & \text { se } & (x, y) \neq(0,0), \\\\ 0 & \text { se } & (x, y)=(0,0) .\end{array}\right.
(a) Mostre que f é contínua em (0,0).
(b) Calcule \frac{\partial f}{\partial x}(0,0) e \frac{\partial f}{\partial y}(0,0).
(c) f é diferenciável em (0,0) ?
(d) São \frac{\partial f}{\partial x} e \frac{\partial f}{\partial y} contínuas em (0,0) ?
Como esse quociente não tende a zero, o erro não é o(\sqrt{x^{2}+y^{2}}) e, portanto, fnão é diferenciável em (0,0).
Passo 5
Para ver a continuidade de \partial f/\partial x e \partial f/\partial y em (0,0) calculamos suas fórmulas gerais para (x,y)\neq(0,0).
Usando quociente,
que depende de m e, em geral, difere de 1. Logo \partial f/\partial xnão é contínua em (0,0). De forma análoga, \partial f/\partial y(x,mx)=-2m/(1+m^{2})^{2} varia com m, não tendendo sempre a 0. Assim \partial f/\partial y também não é contínua em (0,0).
Resposta
(a) f é contínua em (0,0).
(b) \displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}(0,0)=1 e \displaystyle \frac{\partial f}{\partial y}(0,0)=0.
(c) f não é diferenciável em (0,0).
(d) Nem \partial f/\partial x nem \partial f/\partial y são contínuas em (0,0).