Seja f(x, y)=\left\{\begin{array}{lll}\frac{x^{3}}{x^{2}+y^{2}} & \text { se } & (x, y) \neq(0,0), \\\\ 0 & \text { se } & (x, y)=(0,0) .\end{array}\right.
(a) Mostre que f é contínua em (0,0).
(b) Calcule \frac{\partial f}{\partial x}(0,0) e \frac{\partial f}{\partial y}(0,0).
(c) f é diferenciável em (0,0) ?
(d) São \frac{\partial f}{\partial x} e \frac{\partial f}{\partial y} contínuas em (0,0) ?

Passo 1

O enunciado define a função
f(x,y)= \begin{cases} \displaystyle \frac{x^{3}}{x^{2}+y^{2}},& (x,y)\neq(0,0),\\\\ 0,& (x,y)=(0,0). \end{cases}
Pede-se:
  1. Mostrar que f é contínua em (0,0).
  2. Calcular \frac{\partial f}{\partial x}(0,0) e \frac{\partial f}{\partial y}(0,0).
  3. Verificar se f é diferenciável em (0,0).
  4. Analisar a continuidade de \frac{\partial f}{\partial x} e \frac{\partial f}{\partial y} em (0,0).

Passo 2

Para mostrar continuidade em (0,0) precisamos provar que
\lim_{(x,y)\to(0,0)}f(x,y)=0=f(0,0).
Note que, escrevendo r=\sqrt{x^{2}+y^{2}}, temos \lvert x\rvert\le r e
\biggl|\frac{x^{3}}{x^{2}+y^{2}}\biggr| =\frac{|x|^{3}}{r^{2}} \le\frac{r^{3}}{r^{2}} =r.
Como r\to0 quando (x,y)\to(0,0), segue que f(x,y)\to0. Logo f é contínua em (0,0).

Passo 3

Calculamos as parciais em (0,0) pelas definições:
\frac{\partial f}{\partial x}(0,0) =\lim_{h\to0}\frac{f(h,0)-f(0,0)}{h} =\lim_{h\to0}\frac{\displaystyle\frac{h^{3}}{h^{2}}-0}{h} =\lim_{h\to0}\frac{h}{h} =1,
\frac{\partial f}{\partial y}(0,0) =\lim_{k\to0}\frac{f(0,k)-f(0,0)}{k} =\lim_{k\to0}\frac{0-0}{k} =0.

Passo 4

Para verificar diferenciabilidade em (0,0) consideramos o candidato a diferencial linear
L(x,y)=1\cdot x+0\cdot y=x.
Examinamos o resto
R(x,y)=f(x,y)-L(x,y) =\frac{x^{3}}{x^{2}+y^{2}}-x =\frac{x^{3}-x(x^{2}+y^{2})}{x^{2}+y^{2}} =-\frac{x\,y^{2}}{x^{2}+y^{2}}.
Calculamos
\frac{|R(x,y)|}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}} =\frac{|x|\,y^{2}}{(x^{2}+y^{2})^{3/2}}.
Tomando, por exemplo, y=x\neq0, isso vira
\frac{|x|\,x^{2}}{(2x^{2})^{3/2}} =\frac{|x|^{3}}{2^{3/2}|x|^{3}} =\frac1{2^{3/2}}\neq0 \quad\text{quando }x\to0.
Como esse quociente não tende a zero, o erro não é o(\sqrt{x^{2}+y^{2}}) e, portanto, f não é diferenciável em (0,0).

Passo 5

Para ver a continuidade de \partial f/\partial x e \partial f/\partial y em (0,0) calculamos suas fórmulas gerais para (x,y)\neq(0,0).
Usando quociente,
\frac{\partial f}{\partial x}(x,y) =\frac{3x^{2}(x^{2}+y^{2})-x^{3}\cdot2x}{(x^{2}+y^{2})^{2}} =\frac{x^{4}+3x^{2}y^{2}}{(x^{2}+y^{2})^{2}},
\frac{\partial f}{\partial y}(x,y) =-\frac{2x^{3}y}{(x^{2}+y^{2})^{2}}.
Ao aproximar (x,y)\to(0,0) ao longo de y=mx, obtém-se para a parcial em x
\frac{\partial f}{\partial x}(x,mx) =\frac{x^{4}+3m^{2}x^{4}}{x^{4}(1+m^{2})^{2}} =\frac{1+3m^{2}}{(1+m^{2})^{2}},
que depende de m e, em geral, difere de 1. Logo \partial f/\partial x não é contínua em (0,0). De forma análoga,
\partial f/\partial y(x,mx)=-2m/(1+m^{2})^{2} varia com m, não tendendo sempre a 0. Assim \partial f/\partial y também não é contínua em (0,0).

Resposta

(a) f é contínua em (0,0).
(b) \displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}(0,0)=1 e \displaystyle \frac{\partial f}{\partial y}(0,0)=0.
(c) f não é diferenciável em (0,0).
(d) Nem \partial f/\partial x nem \partial f/\partial y são contínuas em (0,0).

Exercícios relacionados