Dada a função f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} definida por f(x)=x^{2}-6 x+8, determine:
a) Os coeficientes a, b e c
b) f(-2) e f(x+h)
c) Existe x \in \mathbb{R}, tal que f(x)=3 ?
d) Existe x \in \mathbb{R}, tal que f(x)=-3 ?

Passo 1

Beleza, temos a função f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} definida por
f(x)=x^{2}-6x+8.
Isso é uma função quadrática no formato padrão ax^{2}+bx+c. Vamos usar isso para responder cada item.

Passo 2

Para identificar os coeficientes comparamos
f(x)=x^{2}-6x+8
com
ax^{2}+bx+c.
Logo temos
a=1,\quad b=-6,\quad c=8.

Passo 3

Para f(-2) substituímos x=-2 em f(x):
f(-2)=(-2)^{2}-6\cdot(-2)+8=4+12+8=24.
Para f(x+h) usamos x\mapsto x+h:
f(x+h)=(x+h)^{2}-6(x+h)+8
\quad=x^{2}+2hx+h^{2}-6x-6h+8.

Passo 4

Verificar se existe x\in\mathbb{R} com f(x)=3 equivale a resolver
x^{2}-6x+8=3
\iff x^{2}-6x+5=0.
O discriminante é
\Delta=(-6)^{2}-4\cdot1\cdot5=36-20=16>0,
então há duas raízes reais:
x=\frac{6\pm4}{2}\in\{1,5\}.
Portanto existe sim.

Passo 5

Verificar se existe x\in\mathbb{R} com f(x)=-3 equivale a resolver
x^{2}-6x+8=-3
\iff x^{2}-6x+11=0.
O discriminante é
\Delta=36-4\cdot1\cdot11=36-44=-8<0,
não há soluções reais. Logo não existe.

Resposta

a) a=1, b=-6, c=8.
b) f(-2)=24 e
f(x+h)=x^{2}+2hx+h^{2}-6x-6h+8.
c) Sim, existem as soluções x=1 e x=5.
d) Não, não existe x\in\mathbb{R} tal que f(x)=-3.

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