{ }^{7 a} Questão: Uma partícula move-se ao longo de uma reta. Sua função velocidade é:
\boldsymbol{V}=\mathbf{5} / \mathbf{t}-\mathbf{4} \boldsymbol{\operatorname { s e n }}(\mathbf{2} \mathbf{t}),
Encontre as função deslocamento e aceleração da partícula.
Resposta da 7^{a} Questão…
\begin{aligned} & V(t)=5 / t-4 \operatorname{sen}(2 t) \text {, } \\ & \text { aceleração da partícula. } \end{aligned}çãí

Passo 1

O enunciado dá a função velocidade
V(t)=\frac{5}{t}-4\operatorname{sen}(2t)
e pede duas coisas: a aceleração a(t), que é a derivada de V(t), e a função deslocamento x(t), que é a integral de V(t). Para isso, vamos aplicar as regras de derivação termo a termo e as de integração termo a termo.

Passo 2

Para achar a aceleração calculamos
a(t)=\frac{d}{dt}\Bigl(\frac{5}{t}-4\operatorname{sen}(2t)\Bigr).
Usamos
\frac{d}{dt}\Bigl(\frac{5}{t}\Bigr)=-\frac{5}{t^2}, \qquad \frac{d}{dt}\bigl(\operatorname{sen}(2t)\bigr)=2\cos(2t),
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a(t)=-\frac{5}{t^2}-4\cdot2\cos(2t)=-\frac{5}{t^2}-8\cos(2t).

Passo 3

Para obter x(t) integramos
x(t)=\int V(t)\,dt =\int\Bigl(\frac{5}{t}-4\operatorname{sen}(2t)\Bigr)dt.
Integramos cada parte:
\int\frac{5}{t}\,dt=5\ln\lvert t\rvert, \qquad \int-4\operatorname{sen}(2t)\,dt=-4\cdot\bigl(-\tfrac12\cos(2t)\bigr)=2\cos(2t).
Somando e incluindo a constante de integração C, temos
x(t)=5\ln\lvert t\rvert+2\cos(2t)+C.

Passo 4

Sem condição inicial, C permanece genérico. Se soubermos, por exemplo, x(t_0)=x_0, podemos achar C substituindo.

Resposta

x(t)=5\ln\lvert t\rvert+2\cos(2t)+C, \qquad a(t)=-\frac{5}{t^2}-8\cos(2t).

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