Classifique em cada item os pontos críticos das funções, se existirem:
Determine os valores e pontos máximos e mínimos das funções dadas :
f:\left[\frac{1}{e}, e\right] \times\left[\frac{1}{e}, e\right] \rightarrow \mathbb{R}, f(x, y)=-2 x-y+\ln x y

Passo 1

O enunciado pede para encontrar os extremos (máximos e mínimos) da função
f(x,y) = -2x - y + \ln(xy)
no domínio fechado e limitado
D = \Bigl[\tfrac1e,e\Bigr]\times\Bigl[\tfrac1e,e\Bigr].
O conteúdo aqui é otimização de funções de duas variáveis: buscamos pontos críticos internamente, classificamos via Hessiana e depois analisamos a fronteira para valores extremos.

Passo 2

Computamos as derivadas parciais e igualamos a zero para achar pontos críticos internos:
\frac{\partial f}{\partial x} = -2 + \frac{1}{x}, \qquad \frac{\partial f}{\partial y} = -1 + \frac{1}{y}.
Resolvendo
-2 + \frac{1}{x} = 0 \;\Rightarrow\; x = \tfrac12, \qquad -1 + \frac{1}{y} = 0 \;\Rightarrow\; y = 1.
Como \frac12\in[\tfrac1e,e] e 1\in[\tfrac1e,e], há um único ponto crítico interno em \bigl(\tfrac12,1\bigr).

Passo 3

Para classificar, calculamos as segundas derivadas:
\frac{\partial^2 f}{\partial x^2} = -\frac{1}{x^2}<0, \quad \frac{\partial^2 f}{\partial y^2} = -\frac{1}{y^2}<0, \quad \frac{\partial^2 f}{\partial x\,\partial y}=0.
A Hessiana é definida negativa em todo o domínio, logo f é estritamente côncava e o ponto crítico \bigl(\tfrac12,1\bigr) é um máximo local. Em função côncava num domínio convexo, esse é também o máximo global.

Passo 4

Para o mínimo global, como f é côncava, ele ocorre na fronteira de D. Verificamos os quatro vértices:
  1. \bigl(\tfrac1e,\tfrac1e\bigr): f=\,-2\frac1e - \frac1e + \ln\!\bigl(\tfrac1{e^2}\bigr) = -\frac{3}{e} - 2.
  2. \bigl(\tfrac1e,e\bigr): f=\,-2\frac1e - e + \ln(1) = -\frac{2}{e} - e.
  3. \bigl(e,\tfrac1e\bigr): f=\,-2e - \frac1e + \ln(1) = -2e - \frac1e.
  4. (e,e): f=\,-2e - e + \ln(e^2) = -3e + 2.

Passo 5

Comparando numericamente, o menor valor ocorre em (e,e), pois
-3e+2 < -2e-\tfrac1e < -\tfrac{2}{e}-e < -\tfrac{3}{e}-2.
Logo o mínimo global é em (e,e).

Resposta

Máximo global em \bigl(\tfrac{1}{2},1\bigr) com
f\bigl(\tfrac12,1\bigr) = -2 - \ln 2.
Mínimo global em (e,e) com
f(e,e) = -3e + 2.

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