Dada a função f e o ponto ( x0, y0 ), determine o maior valor possível de partial fpartial u nesse ponto, sendo u vetor unitário
f(x, y)=x^2 e^y
(x0, y0)=(3, ln (2))

Passo 1

Temos a função f(x,y)=x^2e^y e o ponto (x0,y0)=(3,ln2). A missão é achar o maior valor possível da derivada direcional de f nesse ponto ao longo de um vetor unitário u. Vamos usar conceitos de gradiente e derivada direcional.

Passo 2

A derivada direcional de f no ponto (x0,y0) na direção do vetor unitário u é dada por Duf=nabla f(x0,y0)cdotu. O valor máximo dessa derivada ocorre quando u está alinhado com o gradiente, e então o máximo é |nabla f(x0,y0)|.

Passo 3

Vamos calcular o gradiente geral de f. As derivadas parciais são:
[f_x=2x e^{y}\
f_y=x{2}e{y}]

Passo 4

Agora avaliamos em (3,ln2). Como e^ln2=2, temos:
[\nabla f(3,\ln2)=\bigl(2\cdot3\cdot2,;3^{2}\cdot2\bigr)=(12,18)]

Passo 5

O maior valor da derivada direcional é a norma do vetor (12,18):
[|\nabla f(3,\ln2)|=\sqrt{12{2}+18{2}}=\sqrt{144+324}=\sqrt{468}=6\sqrt{13}]

Resposta

6raiz13

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