Dada a função f e o ponto (
), determine o maior valor possível de
nesse ponto, sendo
vetor unitário
Passo 1
Temos a função
e o ponto
. A missão é achar o maior valor possível da derivada direcional de
nesse ponto ao longo de um vetor unitário
. Vamos usar conceitos de gradiente e derivada direcional.
Passo 2
A derivada direcional de
no ponto
na direção do vetor unitário
é dada por
. O valor máximo dessa derivada ocorre quando
está alinhado com o gradiente, e então o máximo é
.
Passo 3
Vamos calcular o gradiente geral de
. As derivadas parciais são:
[f_x=2x e^{y}\
f_y=x{2}e{y}]
[f_x=2x e^{y}\
f_y=x{2}e{y}]
Passo 4
Agora avaliamos em
. Como
, temos:
[\nabla f(3,\ln2)=\bigl(2\cdot3\cdot2,;3^{2}\cdot2\bigr)=(12,18)]
[\nabla f(3,\ln2)=\bigl(2\cdot3\cdot2,;3^{2}\cdot2\bigr)=(12,18)]
Passo 5
O maior valor da derivada direcional é a norma do vetor
:
[|\nabla f(3,\ln2)|=\sqrt{12{2}+18{2}}=\sqrt{144+324}=\sqrt{468}=6\sqrt{13}]
[|\nabla f(3,\ln2)|=\sqrt{12{2}+18{2}}=\sqrt{144+324}=\sqrt{468}=6\sqrt{13}]