Dada a função f e o ponto (x0, y0), determine o maior valor possível de partial fpartial u nesse ponto, sendo u vetor unitário
f(x, y)=x^2-1y-2
(x0, y0)=(4,5)

Passo 1

O enunciado pede o maior valor possível da derivada direcional de uma função de duas variáveis no ponto dado. O conteúdo envolve derivadas parciais, gradiente e interpretação geométrica da derivada direcional. Para resolver, vamos precisar calcular o gradiente de f e usar o fato de que a direção que maximiza a derivada direcional é a direção do gradiente, e seu valor máximo é o módulo desse gradiente.

Passo 2

Para começar, vamos computar as derivadas parciais de f(x,y)= x^2-1y-2. A derivada parcial em relação a x é dada por diferenciar o numerador mantendo o denominador constante:
fx(x,y)=2xy-2
A derivada parcial em relação a y é dada por usar a regra do quociente:
fy(x,y)=-x^2-1(y-2)^2

Passo 3

Agora avaliamos essas derivadas parciais no ponto (4,5). Note que y-2=3, então:
fx(4,5)=2cdot43=83, fy(4,5)=-4^2-13^2=-16-19=-159=-53

Passo 4

O vetor gradiente em (4,5) é
nabla f(4,5)=l(tfrac83,,-tfrac53r)
O maior valor da derivada direcional (isto é, na direção de máximo crescimento) é o módulo desse gradiente:
|nabla f(4,5)|=raizl(tfrac83r)^2+l(-tfrac53r)^2=raiz64+259=raiz893

Resposta

raiz893

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