Dada a função f e o ponto
, determine o maior valor possível de
nesse ponto, sendo
vetor unitário
Passo 1
O enunciado pede o maior valor possível da derivada direcional de uma função de duas variáveis no ponto dado. O conteúdo envolve derivadas parciais, gradiente e interpretação geométrica da derivada direcional. Para resolver, vamos precisar calcular o gradiente de f e usar o fato de que a direção que maximiza a derivada direcional é a direção do gradiente, e seu valor máximo é o módulo desse gradiente.
Passo 2
Para começar, vamos computar as derivadas parciais de f(x,y)=
. A derivada parcial em relação a x é dada por diferenciar o numerador mantendo o denominador constante:
A derivada parcial em relação a y é dada por usar a regra do quociente:
Passo 3
Agora avaliamos essas derivadas parciais no ponto (4,5). Note que y-2=3, então:
Passo 4
O vetor gradiente em (4,5) é
O maior valor da derivada direcional (isto é, na direção de máximo crescimento) é o módulo desse gradiente: