Determine a equação do plano tangente e da reta normal à função f no ponto (5,32,2)
f(x, y)=raiz[x]y

Passo 1

O enunciado pede a equação do plano tangente e da reta normal ao gráfico da função f(x,y)= raiz[x]y no ponto (5,32,2). Vamos usar cálculo de derivadas parciais e a fórmula do plano tangente a superfícies z=f(x,y).

Passo 2

Primeiro calculamos as derivadas parciais. É conveniente reescrever f como f(x,y)=e^ln yx. Assim, usando regra da cadeia e derivada de ln yx:
partial fpartial x=f(x,y)cdotddxl(ln yxr)=e^ln yxcdotl(-ln yx^2r)=-ln yx^2,y^1/x
partial fpartial y=f(x,y)cdotddyl(ln yxr)=y^1/xcdot1x y=1x,y^1x-1

Passo 3

Agora avaliamos em (x,y)=(5,32). Observe que y^1/x=32^1/5=2 e ln 32=5ln2. Logo:
partial fpartial x(5,32)=-ln325^2cdot2=-5ln225cdot2=-2ln25
partial fpartial y(5,32)=15,32^1/5-1=15,2cdot132=2160=180

Passo 4

Usando a fórmula do plano tangente:
z - z0 = fx(x0,y0),(x-x0)+fy(x0,y0),(y-y0)
com (x0,y0,z0)=(5,32,2), temos:
z - 2 = -2ln25(x-5) + 180(y-32)

Passo 5

Para a reta normal, o vetor normal ao plano tangente é
l(fx(5,32),fy(5,32),-1r)=l(-tfrac2ln25,tfrac180,-1r)
Assim a reta em forma paramétrica é:
x=5 - 2ln25,t, y=32 + 180,t, z=2 - t

Resposta

Plano tangente:
z - 2 = -2ln25,(x-5) + 180,(y-32)
Reta normal:
x=5 - 2ln25,t, y=32 + 180,t, z=2 - t

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