Dada a função f , o ponto ( x0, y0 ), e o vetor u determine partial fpartial w com w unitário na mesma direção e sentido de u
f(x, y)=x^2 y-y^3 x
(x0, y0)=(5,2)
u=(3,4)

Passo 1

Temos a função
f(x,y)=x^2y-y^3x
o ponto
(x0,y0)=(5,2)
e o vetor
vec u=(3,4).
O conteúdo aqui é derivada direcional, e vamos precisar das derivadas parciais para montar o gradiente e do vetor unitário na direção de vec u.

Passo 2

Primeiro, determinamos o vetor unitário vec w na direção de vec u. Calculamos o módulo de vec u:
|vec u|=raiz3^2+4^2=5
Logo,
vec w=vec u|vec u|=l(35,45r)

Passo 3

Agora, calculamos as derivadas parciais de f:
partial fpartial x=2xy-y^3, partial fpartial y=x^2-3y^2x

Passo 4

Em seguida, avaliamos essas derivadas no ponto (5,2):
fx(5,2)=2cdot5cdot2-2^3=20-8=12, fy(5,2)=5^2-3cdot2^2cdot5=25-60=-35

Passo 5

Para obter a derivada direcional, usamos
Dvec wf(5,2)=nabla f(5,2)cdotvec w=(12,-35)cdotl(tfrac35,tfrac45r)=36-1405=-1045

Resposta

-\tfrac{104}{5}

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