Dada a função
, prove:
a) Para todo
, tem-se
;
b)
é sobrejetiva se, e somente se,
para todo
.
a) Para todo
b)
Passo 1
O enunciado envolve uma função
e fala sobre imagem direta de subconjuntos de
e imagem inversa (pré-imagem) de subconjuntos de
. O que vamos usar é:
- Definição de pré-imagem:
- Definição de imagem de um conjunto
:
- A noção de função sobrejetiva:
.
Passo 2
Prova de
.
Seja . Por definição de imagem existe
tal que
. Mas
significa
. Logo
. Portanto
Seja
Passo 3
Prova de que, se
é sobrejetiva, então
.
Já sabemos de (a) que sempre vale .
Para a inclusão inversa, seja . Como
é sobrejetiva, existe
com
. Então
e isso mostra
. Logo
. Assim
e obtemos igualdade.
Já sabemos de (a) que sempre vale
Para a inclusão inversa, seja
Passo 4
Prova de que, se
para todo
, então
é sobrejetiva.
Basta escolher . Então
e a hipótese dá
Basta escolher
Mas
é exatamente a definição de sobrejetividade.
Resposta
a) Para todo
vale sempre
b) A igualdade
ocorre se, e somente se,
é sobrejetiva.