Dada a função f: A \rightarrow B, prove:
a) Para todo Z \subseteq B, tem-se f\left(f^{-1}(Z)\right) \subseteq Z;
b) f é sobrejetiva se, e somente se, f\left(f^{-1}(Z)\right)=Z para todo Z \subseteq B.

Passo 1

O enunciado envolve uma função f\colon A\to B e fala sobre imagem direta de subconjuntos de A e imagem inversa (pré-imagem) de subconjuntos de B. O que vamos usar é:
  1. Definição de pré-imagem:
f^{-1}(Z)=\{\,x\in A \mid f(x)\in Z\}.
  1. Definição de imagem de um conjunto E\subseteq A:
f(E)=\{\,y\in B \mid \exists x\in E\colon f(x)=y\}.
  1. A noção de função sobrejetiva: f(A)=B.

Passo 2

Prova de f\bigl(f^{-1}(Z)\bigr)\subseteq Z.
Seja y\in f\bigl(f^{-1}(Z)\bigr). Por definição de imagem existe x\in f^{-1}(Z) tal que f(x)=y. Mas x\in f^{-1}(Z) significa f(x)\in Z. Logo y\in Z. Portanto
f\bigl(f^{-1}(Z)\bigr)\subseteq Z.

Passo 3

Prova de que, se f é sobrejetiva, então f\bigl(f^{-1}(Z)\bigr)=Z.
Já sabemos de (a) que sempre vale f\bigl(f^{-1}(Z)\bigr)\subseteq Z.
Para a inclusão inversa, seja y\in Z. Como f é sobrejetiva, existe x\in A com f(x)=y. Então f(x)\in Z e isso mostra x\in f^{-1}(Z). Logo y=f(x)\in f\bigl(f^{-1}(Z)\bigr). Assim Z\subseteq f\bigl(f^{-1}(Z)\bigr) e obtemos igualdade.

Passo 4

Prova de que, se f\bigl(f^{-1}(Z)\bigr)=Z para todo Z\subseteq B, então f é sobrejetiva.
Basta escolher Z=B. Então f^{-1}(B)=A e a hipótese dá
f(A)=f\bigl(f^{-1}(B)\bigr)=B.
Mas f(A)=B é exatamente a definição de sobrejetividade.

Resposta

a) Para todo Z\subseteq B vale sempre
f\bigl(f^{-1}(Z)\bigr)\subseteq Z.
b) A igualdade
f\bigl(f^{-1}(Z)\bigr)=Z\quad\text{para todo }Z\subseteq B
ocorre se, e somente se, f é sobrejetiva.

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