Seja
bijetiva. Provar que:
i)
.
ii)
.
iii)
é bijetiva.
i)
ii)
iii)
Passo 1
O enunciado considera uma função
bijetiva e pede três coisas: (i) mostrar que as composições com sua inversa geram as funções- identidade
e
; (ii) verificar que compor
com
ou
não altera
; (iii) concluir que
também é bijetiva. Para isso vamos usar a definição de função inversa e as propriedades de injetividade e sobrejetividade.
Passo 2
Como
é bijetiva, por definição da inversa temos
A primeira igualdade diz exatamente que
para todo
, ou seja
A segunda diz que
para todo
, ou seja
Passo 3
A função identidade satisfaz
e
. Logo, para todo
e para todo
Isso prova
Passo 4
Para mostrar que
é bijetiva, provamos injetividade e sobrejetividade:
- Injetividade: seja
com
Aplicando
em ambos os lados obtemos
logo
.
- Sobrejetividade: dado qualquer
, como é sobrejetiva existe tal que . Para esse vale
mostrando que todo
está na imagem de
.
Portanto
é bijetiva.
Resposta
(i)
e
.
(ii) .
(iii) é bijetiva.
(ii)
(iii)