Seja f: X \rightarrow Y bijetiva. Provar que:
i) f^{-1} \circ f=i d_{X}, \quad f \circ f^{-1}=i d_{Y}.
ii) i d_{Y} \circ f=f=f \circ i d_{X}.
iii) f^{-1}: Y \rightarrow X é bijetiva.

Passo 1

O enunciado considera uma função f\colon X\to Y bijetiva e pede três coisas: (i) mostrar que as composições com sua inversa geram as funções- identidade \mathrm{id}_X e \mathrm{id}_Y; (ii) verificar que compor f com \mathrm{id}_X ou \mathrm{id}_Y não altera f; (iii) concluir que f^{-1}\colon Y\to X também é bijetiva. Para isso vamos usar a definição de função inversa e as propriedades de injetividade e sobrejetividade.

Passo 2

Como f é bijetiva, por definição da inversa temos
\forall x\in X,\;f^{-1}\bigl(f(x)\bigr)=x, \qquad \forall y\in Y,\;f\bigl(f^{-1}(y)\bigr)=y.
A primeira igualdade diz exatamente que (f^{-1}\circ f)(x)=x para todo x, ou seja
f^{-1}\circ f = \mathrm{id}_X.
A segunda diz que (f\circ f^{-1})(y)=y para todo y, ou seja
f\circ f^{-1} = \mathrm{id}_Y.

Passo 3

A função identidade satisfaz \mathrm{id}_X(x)=x e \mathrm{id}_Y(y)=y. Logo, para todo x\in X
(\mathrm{id}_Y\circ f)(x) = \mathrm{id}_Y\bigl(f(x)\bigr)=f(x),
e para todo x\in X
(f\circ \mathrm{id}_X)(x) = f\bigl(\mathrm{id}_X(x)\bigr)=f(x).
Isso prova
\mathrm{id}_Y\circ f = f = f\circ \mathrm{id}_X.

Passo 4

Para mostrar que f^{-1}\colon Y\to X é bijetiva, provamos injetividade e sobrejetividade:
  1. Injetividade: seja y_1,y_2\in Y com
f^{-1}(y_1)=f^{-1}(y_2).
Aplicando f em ambos os lados obtemos
y_1 = f\bigl(f^{-1}(y_1)\bigr) = f\bigl(f^{-1}(y_2)\bigr) = y_2,
logo y_1=y_2.
  1. Sobrejetividade: dado qualquer x\in X, como f é sobrejetiva existe y\in Y tal que f(x)=y. Para esse y vale
f^{-1}(y) = f^{-1}\bigl(f(x)\bigr) = x,
mostrando que todo x\in X está na imagem de f^{-1}.
Portanto f^{-1} é bijetiva.

Resposta

(i) f^{-1}\circ f = \mathrm{id}_X e f\circ f^{-1} = \mathrm{id}_Y.
(ii) \mathrm{id}_Y\circ f = f = f\circ \mathrm{id}_X.
(iii) f^{-1}\colon Y\to X é bijetiva.

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