Se X e Y são conjuntos, então mostre que:
\mathcal{P}(X) \subseteq \mathcal{P}(Y) \Rightarrow X \subseteq Y.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, dados dois conjuntos X e Y, se
\mathcal{P}(X)\subseteq \mathcal{P}(Y),
então necessariamente X\subseteq Y. O conteúdo aqui é teoria de conjuntos, em particular a definição de subconjunto e de conjunto potência (power set). Vamos usar a ideia de que \mathcal{P}(X) é o conjunto de todos os subconjuntos de X.

Passo 2

Lembremos da definição de conjunto potência:
\mathcal{P}(X)=\{A \mid A\subseteq X\}.
Em outras palavras, cada elemento de \mathcal{P}(X) é um subconjunto de X. A suposição \mathcal{P}(X)\subseteq\mathcal{P}(Y) significa que todo subconjunto de X também é subconjunto de Y.

Passo 3

Para provar X\subseteq Y, pegamos um elemento arbitrário x\in X. Então o conjunto singleton \{x\} é um subconjunto de X, isto é,
\{x\}\subseteq X \quad\Longrightarrow\quad \{x\}\in\mathcal{P}(X).
Como \mathcal{P}(X)\subseteq\mathcal{P}(Y), segue que
\{x\}\in\mathcal{P}(Y) \quad\Longrightarrow\quad \{x\}\subseteq Y.
Daí x\in Y.

Passo 4

Visto que x\in X era arbitrário e sempre leva a x\in Y, concluímos X\subseteq Y.

Resposta

Concluímos que \mathcal{P}(X)\subseteq\mathcal{P}(Y) implica X\subseteq Y.

Exercícios relacionados