Seja
, mostre que são equivalentes:
a)
é injetiva.
b) Mostre que
, para todo
.
c) para todo par de conjuntos disjuntos
e
de
, temos
.
a)
b) Mostre que
c) para todo par de conjuntos disjuntos
Passo 1
O enunciado fala de uma função
e pede para mostrar que as três propriedades abaixo são equivalentes:
-
é injetiva. - Para todos
, vale
- Para todo par de conjuntos disjuntos
(isto é, ), temos
Vamos usar a definição de imagem de conjunto e a definição de injetividade.
Passo 2
(a)
(b).
Em geral sempre vale
Em geral sempre vale
pois se
então existe
com
, logo
e
.
Para a inclusão inversa, suponha injetiva e tome
. Então existem
e
tais que
Para a inclusão inversa, suponha
Pela injetividade deduzimos
, logo
e
. Assim
e concluímos a igualdade.
Passo 3
(b)
(c).
Se , então aplicando (b) obtemos
Se
Aqui usamos que a imagem do conjunto vazio é o vazio.
Passo 4
(c)
(a).
Para mostrar que é injetiva, suponha por absurdo que não seja: existem
em
tais que
. Tome
Para mostrar que
Como
temos
, mas
então
, contradizendo (c). Logo
deve ser injetiva.
Resposta
Concluímos que as três condições são logicamente equivalentes, ou seja,