Dada a função
, definida como:
desenvolva a mesma em série de Fourier.
Passo 1
Temos uma função periódica de período T definida por f(t)=t em (−T/2,T/2). Vamos desenvolver a Série de Fourier usando a fórmula geral e explorando a paridade da função.
Como f é ímpar (f(−t)=−f(t)), o termo médio a₀ e todos os coeficientes de cosseno aₙ são zero. Só restam os termos de seno com coeficientes bₙ.
Como f é ímpar (f(−t)=−f(t)), o termo médio a₀ e todos os coeficientes de cosseno aₙ são zero. Só restam os termos de seno com coeficientes bₙ.
Passo 2
O coeficiente bₙ é dado por
Para calcular essa integral, usamos integração por partes. Definindo u=t e dv=\sin(ωₙt)dt com ωₙ=2πn/T, obtemos a antiderivada
Avaliando de −T/2 a T/2 e simplificando, chega-se a
Passo 3
Substituindo bₙ na série de Fourier, concluímos que