Dada a função f(t) com T, definida como:
f(t)=t, para -T2 <= t
desenvolva a mesma em série de Fourier.

Passo 1

Temos uma função periódica de período T definida por f(t)=t em (−T/2,T/2). Vamos desenvolver a Série de Fourier usando a fórmula geral e explorando a paridade da função.
Como f é ímpar (f(−t)=−f(t)), o termo médio a₀ e todos os coeficientes de cosseno aₙ são zero. Só restam os termos de seno com coeficientes bₙ.

Passo 2

O coeficiente bₙ é dado por
bn=2Tintegral-T/2^T/2tsinl(2pi nTtr),dt
Para calcular essa integral, usamos integração por partes. Definindo u=t e dv=\sin(ωₙt)dt com ωₙ=2πn/T, obtemos a antiderivada
integral tsin(ωₙt),dt = -tcos(ωₙt)ωₙ+sin(ωₙt)ωₙ^2
Avaliando de −T/2 a T/2 e simplificando, chega-se a
bn=T(-1)^n+1pi n

Passo 3

Substituindo bₙ na série de Fourier, concluímos que
f(t)=sumn=1^inftyT(-1)^n+1pi nsinl(2pi nTtr)

Resposta

f(t)=sumn=1^inftyT(-1)^n+1pi nsinl(2pi nTtr)

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