Encontre os menores valores positivos para o período T das seguintes funções:
(a) cos x, sin x, cos 2 x, sin pi x, sin 2 pi x
(b) cos n x, cos 2 pi x / k, cos 2 pi n x / k

Passo 1

Resumindo a questão: precisamos encontrar o menor período positivo T das funções trigonométricas dadas. O conteúdo aqui é periodicidade de sen e cos, e vamos usar a fórmula geral do período dessas funções.

Passo 2

Para funções da forma f(x)=sin(bx) ou f(x)=cos(bx), o menor período T satisfaz b(x+T)=bx+2pi, o que leva à fórmula
T=2pi|b|

Passo 3

Aplicando ao item (a): para cos x e sin x temos b=1 T=2pi. Para cos(2x), b=2 T=pi. Para sin(pi x), b=pi T=2. Para sin(2pi x), b=2pi T=1.

Passo 4

Aplicando ao item (b): para cos(nx), b=n T=tfrac2pin. Para cosl((2pi/k)xr), b=2pi/k T=k. Para cosl((2pi n/k)xr), b=2pi n/k T=tfrackn.

Resposta

(a) (\cos x,\sin x:,T=2\pi;\enspace\cos(2x):T=\pi;\enspace\sin(\pi x):T=2;\enspace\sin(2\pi x):T=1.\quad(b)\enspace\cos(nx):T=\tfrac{2\pi}{n};\enspace\cos\bigl((2\pi/k)x\bigr):T=k;\enspace\cos\bigl((2\pi n/k)x\bigr):T=\tfrac{k}{n}.

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