Verdadeiro ou falso? Se verdadeiro, prove/explique a razão, se falso prove/explique ou dê um contra-exemplo.
(b) Se
e
converge, então
também converge.
(b) Se
Passo 1
A questão é sobre o teste de comparação para integrais impróprias e pede para analisar se vale a implicação “se
e
converge, então
converge” sem outras hipóteses.
O teste de comparação clássico exige que as funções sejam não negativas (isto é, ). Aqui não temos essa condição em
, então a implicação geral pode falhar.
O teste de comparação clássico exige que as funções sejam não negativas (isto é,
Passo 2
Vou dar um contra‐exemplo. Defina para
:
Passo 3
Vamos checar que realmente
para todo
. Multiplicando por
em ambos os lados:
que equivale a
Isso é verdade para todo
.
Passo 4
Agora as integrais. Primeiro
ou seja, converge. Já para
:
O primeiro termo dá
logo diverge.
Passo 5
Como encontramos um contra‐exemplo em que
,
converge mas
diverge, a afirmação é falsa.
Resposta
Falso. Contra‐exemplo:
,
para
.