Verdadeiro ou falso? Se verdadeiro, prove/explique a razão, se falso prove/explique ou dê um contra-exemplo.
(b) Se f(x) <= g(x) e integral-1^infty g(x) d x converge, então integral-1^infty f(x) d x também converge.

Passo 1

A questão é sobre o teste de comparação para integrais impróprias e pede para analisar se vale a implicação “se f(x) <= g(x) e integral-1^inftyg(x),dx converge, então integral-1^inftyf(x),dx converge” sem outras hipóteses.
O teste de comparação clássico exige que as funções sejam não negativas (isto é, 0<= f(x)<= g(x)). Aqui não temos essa condição em f, então a implicação geral pode falhar.

Passo 2

Vou dar um contra‐exemplo. Defina para x>-1:
f(x)=-1x+1,
g(x)=1(x+1)^2

Passo 3

Vamos checar que realmente f(x)<= g(x) para todo x>-1. Multiplicando por (x+1)^2>0 em ambos os lados:
-,(x+1)<=1
que equivale a
-(x+1)<=1Long<=ftrightarrow x+1>=-1Long<=ftrightarrow x>=-2
Isso é verdade para todo x>-1.

Passo 4

Agora as integrais. Primeiro
integral-1^inftyg(x),dx=integral-1^infty1(x+1)^2,dx =limAtoinftygl[-1x+1gr]x=-1^x=A =limAtoinftyl(-tfrac1A+1+inftyr) =1,
ou seja, converge. Já para f:
integral-1^inftyf(x),dx=integral-1^infty-1x+1,dx =limepsilonto0^+integral-1+epsilon^1-1x+1,dx+integral1^infty-1x+1,dx
O primeiro termo dá
limepsilonto0^+l[-ln(x+1)r]x=-1+epsilon^x=1 =limepsilonto0^+l(-ln2+lnepsilonr)=-infty,
logo diverge.

Passo 5

Como encontramos um contra‐exemplo em que f(x)<= g(x), integral g converge mas integral f diverge, a afirmação é falsa.

Resposta

Falso. Contra‐exemplo: f(x)=-1/(x+1), g(x)=1/(x+1)^2 para x>-1.

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