Seja f(t) uma função periódica, com período T=4, definida como:
f(t)=t^2, para -2 <= t<2
Nessas condições, pede-se:
(a) Faço o esboço do gráfico de f(t) no intervalo -6 <= t<6;

Passo 1

O enunciado definiu uma função periódica de período T=4 cujo “trecho básico” é f(t)=t² para -2 ≤ t < 2. Nosso conteúdo é funções periódicas e como estender o trecho básico a toda reta usando f(t+4k)=f(t).

Passo 2

Pela periodicidade, para qualquer inteiro k vale f(t+4k)=f(t). No intervalo -6 ≤ t < 6 temos três cópias do trecho básico, correspondendo a k = -1, 0 e 1. Isso gera três intervalos de comprimento 4: [-6,-2], [-2,2] e [2,6].

Passo 3

Em cada intervalo, reescrevemos f(t) trocando t pelo ponto no trecho principal: 1) Para -6 ≤ t < -2 (k=1) definimos u = t+4, que fica em [-2,2], então f(t)=u²=(t+4)². 2) Para -2 ≤ t < 2 (k=0), permanece f(t)=t². 3) Para 2 ≤ t < 6 (k=-1) definimos v = t-4, que fica em [-2,2], então f(t)=v²=(t-4)².

Passo 4

Pronto! O esboço no intervalo pedido é a repetição de três arcos de parábola: uma centrada em t=-4, outra em t=0 e outra em t=4, todas com forma y=t² deslocada adequadamente.

Resposta

No intervalo -6 ≤ t < 6 o gráfico é formado por três arcos de parábola:
f(t)=(t+4)^2, & -6<= t< -2, f(t)=t^2, & -2<= t< 2, f(t)=(t-4)^2, & 2<= t< 6

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