Dada a função f(x)=15 x^2+x-2, Determine algebricamente os pontos no quais f(x) <=-2.

Passo 1

A função dada é f(x)=15x^{2}+x-2 e precisamos encontrar os valores de x tais que f(x)\le -2. O conteúdo é resolução de inequação polinomial de segundo grau e vamos precisar transformar a desigualdade para a forma padrão, fatorar o polinômio e estudar o sinal do produto resultante.

Passo 2

Começamos reescrevendo a condição f(x)\le -2:
15x^2+x-2<= -2
Somando 2 em ambos os lados para ficar a inequação em zero:
15x^2+x<= 0
Agora vamos fatorar o polinômio 15x^{2}+x. Colocando x em evidência, temos:
15x^2+x = x(15x+1)
Então a desigualdade fica:
x(15x+1)<= 0

Passo 3

Para resolver uma inequação produto \le 0, identificamos as raízes do produto, que são x=0 e 15x+1=0 (isto é x=-\tfrac{1}{15}), e montamos o estudo de sinais. Como o coeficiente de x^{2} é positivo, a parábola abre para cima, então o produto é não-positivo entre as raízes.

Passo 4

Portanto, a solução da inequação é o intervalo onde o produto é negativo ou zero: [-\tfrac{1}{15},,0].

Resposta

xinl[-tfrac115,0r]

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