Seja v(x, y, z) o campo de velocidades de um fluido em movimento. Determinar a variação de v no ponto e direção indicados.
. v(x, y, z)=(x, y, z) ; P0(1,2,1); na direção do vetor normal exterior à esfera x^2+y^2+z^2=1, no ponto (1,0,0)

Passo 1

Resumindo o problema: temos o campo de velocidade vec v(x,y,z)=(x,y,z), queremos a derivada direcional em P0=(1,2,1) na direção do vetor normal exterior à esfera x^2+y^2+z^2=1 no ponto (1,0,0). Essa é uma questão de derivada direcional de campo vetorial, e vamos precisar do jacobiano de vec v e do vetor normal (unidade) à superfície.

Passo 2

A normal à esfera x^2+y^2+z^2=1 é dada pelo gradiente de F(x,y,z)=x^2+y^2+z^2-1. Calculando nabla F=(2x,2y,2z) e avaliando em (1,0,0) obtemos (2,0,0). Para usar como direção, normalizamos: o vetor unitário fica (1,0,0).

Passo 3

Para um campo vetorial vec v, a derivada direcional em P0 na direção u é dada por multiplicar o jacobiano de vec v em P0 pelo vetor u. No nosso caso vec v(x,y,z)=(x,y,z) tem jacobiano constante igual à identidade:
J(vec v)= 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1
Multiplicando essa matriz pelo vetor direção (1,0,0) a gente encontra o resultado da derivada direcional: é simplesmente (1,0,0).

Resposta

(1,0,0)

Exercícios relacionados