Seja o campo de velocidades de um fluido em movimento. Determinar a variação de no ponto e direção indicados.
. ; na direção do vetor normal exterior à esfera , no ponto
Passo 1
Resumindo o problema: temos o campo de velocidade , queremos a derivada direcional em na direção do vetor normal exterior à esfera no ponto . Essa é uma questão de derivada direcional de campo vetorial, e vamos precisar do jacobiano de e do vetor normal (unidade) à superfície.
Passo 2
A normal à esfera é dada pelo gradiente de . Calculando e avaliando em obtemos . Para usar como direção, normalizamos: o vetor unitário fica .
Passo 3
Para um campo vetorial , a derivada direcional em na direção é dada por multiplicar o jacobiano de em pelo vetor . No nosso caso tem jacobiano constante igual à identidade:
Multiplicando essa matriz pelo vetor direção (1,0,0) a gente encontra o resultado da derivada direcional: é simplesmente (1,0,0).