Dada a função f(x)=15 x^2+x-2, determine algebricamente os pontos de mínimo ou máximo de f.

Passo 1

O enunciado pede para achar algebricamente os pontos de mínimo ou máximo da função quadrática f(x)=15x^{2}+x-2; o conteúdo é cálculo de extremos usando derivada e verificação com segunda derivada.

Passo 2

Para encontrar pontos críticos, usamos que eles satisfazem f '(x)=0. A derivada é dada por:
f'(x)=ddx(15x^2+x-2)=30x+1

Passo 3

Resolvendo f '(x)=0 temos:
30x+1=0
x=-130

Passo 4

Para saber se é mínimo ou máximo, calculamos a segunda derivada:
f''(x)=ddx(30x+1)=30
Como f’’(x)=30>0, o ponto crítico é mínimo.

Passo 5

Calculamos o valor de f no ponto x=-\tfrac{1}{30}:
fl(-tfrac130r)=15l(-tfrac130r)^2+l(-tfrac130r)-2=15cdottfrac1900-tfrac130-2=tfrac160-tfrac130-2= -tfrac12160

Resposta

O ponto de mínimo é \bigl(-\tfrac{1}{30}, -\tfrac{121}{60}).

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